ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 20-09-17 10:25)
Código
100201
Plan
ECTS
6.00
Carácter
BÁSICA
Curso
1
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Pascual Cutillas Ripoll
Grupo/s
2
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M2330
Horario de tutorías

Martes, miércoles y jueves de 13 a 14.(profesor Pascual Cutillas Ripoll)

De lunes a viernes de 13:00 a 14:00 o en otro horario, previa cita con el profesor (profesor Mercedes Maldonado Cordero)

URL Web
-
E-mail
pcr@usal.es
Teléfono
923294457
Profesor
Mercedes Maldonado Cordero
Grupo/s
2
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M3303
Horario de tutorías

Martes, miércoles y jueves de 13 a 14.(profesor Pascual Cutillas Ripoll)

De lunes a viernes de 13:00 a 14:00 o en otro horario, previa cita con el profesor (profesor Mercedes Maldonado Cordero)

URL Web
-
E-mail
cordero@usal.es
Teléfono
923294460, Ext. 1564

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de Variable Compleja.

Papel de la asignatura.

Formación básica. Rama de Ciencias.

Perfil profesional.

Al ser una materia de carácter básico, es fundamental en cualquier perfil profesional vinculado a la Titulación de Grado en Matemáticas.

3. Recomendaciones previas

  • Manejo de las operaciones elementales con números reales, polinomios y matrices.
  • Conocimiento de las funciones elementales y sus propiedades: logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas.
  • Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

4. Objetivo de la asignatura

Generales

• Contribuir a la formación y desarrollo del razonamiento científico.

• Proveer al alumno de capacidades de abstracción, concreción, concisión, imaginación, intuición, razonamiento, crítica, objetividad, síntesis y precisión.

Específicos

• Conocer los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial.

• Formular y resolver problemas utilizando el lenguaje matemático.

• Aplicar los conocimientos asociados a la derivada a la resolución de problemas.

5. Contenidos

Teoría.

Contenidos teóricos

Tema 1.  Sucesiones de números racionales. Definición de los números reales mediante sucesiones de Cauchy en Q. Estructura de anillo en R. Qcomo subanillo de R. Números reales positivos y números reales negativos. R como cuerpo ordenado. Cortaduras en R. Existencia del supremo y del ínfimo de un conjunto acotado de números reales. Forma decimal de un número real. Sucesiones no convergentes. Subsucesiones. Límites superior e inferior de una sucesión acotada.

Tema 2. Igualdad y desigualdad de cardinales. Teorema de Cantor-Bernstein. Desigualdad entre el cardinal de un conjunto y el cardinal de su familia de subconjuntos. Conjuntos numerables. Subconjuntos de un conjunto numerable. Numerabilidad de Q. No numerabilidad de R.

Tema 3. Distancia entre dos puntos de R. Entornos de un punto. Subconjuntos abiertos y subconjuntos cerrados de R. Puntos de acumulación. Caracterización de los subconjuntos cerrados. Interior, exterior y frontera de un conjunto. Espacios métricos. Generalización para espacios métricos de los conceptos de subconjunto abierto, subconjunto cerrado, etc., y de las propiedades fundamentales ya estudiadas en el caso particular de R. Sucesiones en un espacio métrico. Completitud. Subconjuntos compactos de un espacio métrico. Caracterización de los subconjuntos compactos de R, e idea sobre la generalización para Rn . Subconjuntos conexos de un espacio métrico. Caracterización de los subconjuntos conexos de R. Límite en un punto de una aplicación entre espacios métricos. Aplicaciones continuas. Condiciones equivalentes a la continuidad. Imágenes de conjuntos compactos y conjuntos conexos por las aplicaciones continuas. Generalizaciones de los clásicos teoremas de Weierstrass y Bolzano. Continuidad uniforme. Teorema de Heine.

Tema 4. Funciones reales de una variable real. Límite funcional. Límites laterales. Continuidad. Homeomorfismos entre intervalos cerrados. Derivada en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica de la derivada. Función derivada. Derivadas de orden superior. Idea sobre la derivación parcial de funciones de dos o mas variables. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos locales. Teorema de Rolle. Teorema de Lagrange o de los incrementos finitos. Teorema de Cauchy o del valor medio. Regla de L’Hopital. Fórmula de Taylor. Propiedades de los desarrollos de Taylor. Formas del resto del desarrollo de Taylor. Concavidad. Convexidad. Puntos de inflexión. Aplicación de la fórmula de Taylor al estudio local de una función.

Práctica.

1. Números reales. Principio de Inducción. Intervalos. Sumatorios. Valor absoluto. Supremo, ínfimo, máximo y mínimo.  

2. Números complejos. Operaciones elementales: suma, producto, cociente. Forma polar. Fórmula de Moivre. Logaritmos y raíces. Resolución de ecuaciones.

3. Sucesiones de números reales. Convergencia. Indeterminaciones. Cálculo efectivo de límites: infinitésimos equivalentes y criterio de Stolz. Sucesiones recurrentes.

4. Límites y continuidad. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos de acumulación. Cierre e interior de un conjunto. Frontera. Cálculo efectivo de límites: infinitésimos equivalentes. Estudio de la continuidad de funciones. Aplicación de los teoremas fundamentales.

5. Cálculo diferencial. Derivada en un punto. Aplicación de las reglas de derivación para el cálculo efectivo de derivadas de funciones y de sus inversas. Aplicación de los teoremas de Rolle y del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmula de Taylor. Cálculo de límites mediante desarrollos limitados. Crecimiento y decrecimiento. Cálculo de máximos y mínimos. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Representación aproximada de funciones. Problemas de optimización mediante la aplicación de la derivada.

6. Competencias a adquirir

Básicas / Generales.

Académicas

·       Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

·       Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del Cálculo Diferencial.

·       Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

·       Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.

·       Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

·       Manejo de los números reales y complejos.

·       Manipulación de desigualdades y sucesiones.

·       Comprender y trabajar intuitiva, geométrica y formalmente con las nociones de límite y derivada.

·       Utilizar las reglas de derivación y los teoremas fundamentales.

·       Calcular y estudiar extremos de funciones.

·       Analizar y dibujar funciones, deducir propiedades de una función a partir de su gráfica.

Profesionales

·       Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.

·       Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.

·       Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.

·       Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.

.   Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Transversales.

Instrumentales:

·       Capacidad de organizar y planificar.

·       Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.

·       Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

·       Comunicación de conceptos abstractos.

·       Argumentación racional.

·       Capacidad de aprendizaje.

·       Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

·       Creatividad.

·       Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.

.        Planificar y dirigir.

7. Metodologías

Clases magistrales

Mediante esta fórmula se desarrollarán los contenidos teóricos, siguiendo uno o dos libros de texto de referencia, en los que se incluyen las definiciones de los diferentes conceptos y su comprensión a partir de ejemplos, así como las propiedades formuladas como teoremas y corolarios, argumentando su demostración en los casos más notables. Se fijan así los conocimientos ligados a las competencias previstas y se da paso a clases prácticas de resolución de problemas.

Resolución de problemas

A través de clases prácticas se irán resolviendo los ejercicios y problemas planteados para aplicar y asimilar los contenidos, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos, de modo que en las clases prácticas los estudiantes se inicien en las competencias previstas.

Entrega de trabajos personales y seminarios tutelados

A partir de esas clases teóricas y prácticas los profesores propondrán a los estudiantes la realización de trabajos personales sobre problemas, contando con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. En esos seminarios los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias del módulo.

Los trabajos entregados serán corregidos por el profesor y comentados posteriormente en las tutorías personales, con el fin de que puedan detectar sus posibles deficiencias, tanto de comprensión como de redacción.

Trabajo personal

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas.

Exposición de trabajos

Se podrán realizar exposiciones de partes de la teoría ya explicada por el profesor, o de algún enunciado cuya demostración hubiera quedado pendiente para: o bien, en casos sencillos, ser obtenida por los propios alumnos o bien ser consultada en alguno de los textos de la bibliografía indicado

Realización de exámenes

Exámenes de teoría y resolución de problemas

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • J. Escuadra Burrieza, J. Rodríguez Lombardero y A. Tocino García, Análisis Matemático. Hespérides. 1998.
  • F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en una variable real. Ed. Thomson, 2004.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

·       J. M. Ortega Aramburu, Análisis Matemático. Ed. Labor.

·       J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C.A. Trejo, Análisis Matemático (tomo 1). Ed. Kapelusz.

·       G. E. Shilov, Elementary Real and Complex Analysis. Dover.

·       D. A. Sprecher, Elements of Real Analysis. Dover.

·       S. Lang, Introducción al Análisis Matemático. Addison Wesley.

·       R. Courant y F. John, Introduction to Calculus and Analysis (volume I). Springer .

·       Programa Mathematica (Wolfram Research)

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Criterios de evaluación.

Teoría

  • Exposición oral de temas de teoría. Hasta un 70% de la nota de teoría.
  • Examen final de teoría: entre 30% y 100% de la nota final de teoría.

Problemas

  • Evaluación continua.
    • Trabajos individuales: 10% de la nota final de problemas.
    • 2 pruebas presenciales de problemas: 20% de la nota final de problemas.
  • Examen final de problemas: 70% de la nota de problemas. Será necesario tener 4 puntos sobre 10 en el examen de problemas para que se cuente la evaluación continua.

La nota final será un 40% de la nota de teoría y un 60% de la nota de problemas.

La evaluación continua NO es recuperable. La recuperación consistirá en un examen de teoría y otro de problemas, con el mismo peso en la calificación que el indicado anteriormente.

Instrumentos de evaluación.

Actividades a evaluar

• Entrega de trabajos individuales.

• Exposiciones teóricas.

• Exámenes escritos:

  • de teoría (conocimiento de conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en las clases magistrales)
  • de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves)

Recomendaciones para la evaluación.

En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.

Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente, como acudiendo a las tutorías.

En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.

En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía y acudiendo al profesor.

Recomendaciones para la recuperación.

Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).

Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

11. Organización docente semanal