TOPOLOGÍA

TOPOLOGÍA

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-07-17 21:38)
Código
100211
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OBLIGATORIA
Curso
2
Periodicidad
Primer Semestre
Áreas
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
ÁLGEBRA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Pablo Miguel Chacón Martín
Grupo/s
Todos
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Segunda planta del edificio de La Merced, M3306
Horario de tutorías

Lunes y martes de 11h a 12h, miércoles y viernes de 13h a 14h.

URL Web
http://mat.usal.es/~pmchacon
E-mail
pmchacon@usal.es
Teléfono
923 29 44 59

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura pertenece al bloque formativo “Topología y Geometría Diferencial”.

Papel de la asignatura.

Su carácter es obligatorio y su docencia está programada en el primer semestre del 2º curso. El bloque se complementa con la “Geometría Diferencial I” que se imparte en el segundo semestre del 2º curso. Sus contenidos son necesarios para abordar con garantías otras asignaturas del Plan de Estudios como Álgebra Conmutativa y Computacional, Análisis Funcional, Geometría Algebraica o Topología Algebraica.

Perfil profesional.

Al ser una asignatura de carácter obligatorio, es fundamental para cualquier perfil profesional vinculado a la Titulación de Grado en Matemáticas.

3. Recomendaciones previas

Los conceptos que se deben manejar correctamente para facilitar la asimilación de esta asignatura son escasos, siendo conveniente conocer los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos (operaciones básicas: pertenencia, unión, intersección y diferencia; o producto cartesiano de 2 o más conjuntos) y las nociones básicas de aplicaciones de conjuntos. También es deseable que se tenga un conocimiento medio de los números reales y sus principales propiedades. Para ello es recomendable haber cursado previamente las asignaturas Análisis Matemático I y Álgebra Lineal I.

4. Objetivo de la asignatura

Objetivos generales:

  • Conseguir que los estudiantes, además de conocer y saber utilizar los conceptos básicos de la Topología, empiecen a madurar científicamente, valoren más los métodos y las ideas que se les presentan que los resultados concretos, y apliquen teorías generales a situaciones particulares, para avanzar en su formación integral como matemáticos.
  • Objetivos específicos:

  • Familiarizar al alumno con el lenguaje y los conceptos de la Topología elemental, entendida como la definición de los espacios topológicos y el estudio de sus propiedades básicas.
  • Obtener las destrezas necesarias para garantizar que, tras superar el programa del curso, hayan adquirido los conocimientos topológicos necesarios para enfrentarse a estudios posteriores de asignaturas de diferentes módulos del Plan de Estudios como  Álgebra Conmutativa y Computacional y Geometría Algebraica (con la base para estudiar la topología de Zariski para espectros de anillos y las variedades algebraicas), Geometría Diferencial II (con la comprensión adecuada de la noción de variedad diferenciable), Análisis Funcional (con conocimientos suficientes para iniciar el estudio de los espacios de Banach), o Topología Algebraica (donde asimilar los espacios uniformes, las compactificaciones o la topología de los espacios de funciones),

5. Contenidos

Teoría.

La asignatura se organizará en las siguientes unidades.

1. Espacios topológicos.

Topología por abiertos y por cerrados. Comparación de topologías. Entornos de un punto. Subespacios topológicos. Bases y subbases.

2. Espacios métricos.

Distancia sobre un conjunto. Bolas y topología métrica. Espacios topológicos metrizables. Métricas equivalentes. Acotación.

3. Elementos de un espacio topológico.

Interior, cierre, frontera y puntos de acumulación. Sucesiones y límites.. Conjuntos densos y numerables. Axiomas de separación.

4. Continuidad. Topologías inicial y final.

Funciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Continuidad uniforme e isometrías en espacios métricos. Topología inicial y la topología final de una aplicación.

5. Producto de espacios topológicos.

Topología producto. Continuidad y productos.

6. Espacios conexos.

Espacios y subespacios conexos. Subconjuntos conexos de R. Producto de espacios topológicos conexos. Conexión y continuidad. Conexión local y componentes conexas.

7. Espacios compactos.

Espacios y subespacios compactos. Compactos y cerrados en espacios Hausdorff y métricos. Subconjuntos compactos de Rⁿ. Compacidad y continuidad. Compacidad por sucesiones.

8. Espacios métricos completos.  

Sucesiones de Cauchy, completitud. Subespacios topológicos completos. Completación de un espacio métrico.

9. Introducción al Grupo Fundamental.

Espacios arco-conexos. Grupo fundamental. Descripción de superficies compactas.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

Conocer definiciones intrínsecas de los conceptos básicos de topología (abierto, cerrado, entorno), así como la caracterización de algunas topologías sencillas.

Entender la noción de espacio metrizable y conocer métricas distintas que determinan la misma topología.

Utilizar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico: compacidad y conexión.

Construir ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente.

Saber las propiedades básicas y ejemplos de conjuntos numerables.

Conocer una definición general de función continua entre dos espacios topológicos arbitrarios.

Ser capaces de caracterizar las topologías inicial y final de una aplicación.

Saber caracterizar los subconjuntos compactos de Rⁿ.

Conocer la definición de sucesión de Cauchy y su relación con las sucesiones convergentes.

Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación.

Transversales.

  • Conseguir capacidad de análisis y síntesis.
  • Estimular el aprendizaje autónomo.
  • Aprender a trabajar en equipo.
  • Abordar problemas relacionados con los conceptos asimilados.
  • Obtener resultados hilando razonamientos a partir de nociones teóricas.
  • Entender demostraciones rigurosas.
  • Tener capacidad de organización y planificación

7. Metodologías

El contenido teórico de cada una de las unidades de la materia se expondrá a través de clases presenciales, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas y dar paso a clases prácticas de resolución de problemas, en los que se aplicarán las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas. Los detalles de algunos de los resultados deberán ser consultados por los alumnos en el libro de referencia.

A partir de esas clases teóricas y prácticas se propondrá a los estudiantes la realización de trabajos personales sobre teoría y problemas, para cuya realización tendrán el apoyo del profesor en seminarios tutelados.

En estos seminarios los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias de la materia. Los seminarios tutelados servirán también para resolver problemas planteados por el profesor sobre los que se buscará una gran participación de los estudiantes. En este caso y a diferencia de las clases de problemas, será el propio colectivo de estudiantes el que vaya construyendo el argumento o resolución del problema.

Existirá un horario de tutorías a disposición de los alumnos donde podrán resolver individualmente sus dudas.

Se hará uso también del campus on-line que tiene la Universidad de Salamanca, Studium. En esta plataforma se pondrá a disposición del colectivo el material docente previsto y servirá también como canal adicional de comunicación de los distintos aspectos de la asignatura (fecha de entrega de trabajos,  controles, etc.).

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

James R. Munkres. Topología (2ª Edición); Prentice Hall (Madrid), 2002.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • E. Bujalance y J. Tarrés. Problemas de Topología. Cuadernos de la UNED 062, 1991.
  • G. Fleitas; J. Margalef. Problemas de Topología General (2ª Edición). Alambra (Madrid), 1983.
  • R. López. Topología. Ed. Universidad de Granada, 2014.
  • J. Margalef y  E. Outerelo. Introducción a la Topología. Complutense D. L. (Madrid), 1993.
  • E. Outerelo Domínguez y J.M. Sánchez. Elementos de topología. Ed Sanz y Torres, 2008.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación, conjuntamente con un examen final.

Criterios de evaluación.

Los pesos en la calificación final de las distintas actividades de evaluación serán:

  • Actividades presenciales de evaluación continua: 25%.
  • Actividades no presenciales de evaluación continua: 15%.
  • Examen final: 60% (mínimo de 3 sobre 10).

El estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.

Instrumentos de evaluación.

Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:

  • Actividades no presenciales de evaluación continua:

Durante el curso se planteará a los estudiantes diversos trabajos teórico-prácticos   consistentes en la demostración con rigor de resultados de teoría planteados por el profesor y/o en la resolución de uno o varios ejercicios donde se abordarán los distintos conceptos vistos en clase.

Estos trabajos deberán ser realizados por el estudiante fuera del horario lectivo.

  • Actividades presenciales de evaluación continua:

Durante el cuatrimestre serán convocadas con suficiente antelación, tanto en clase como a través de la plataforma Studium, unas pruebas presenciales. Las pruebas  incluirán unas preguntas de carácter teórico (50%) y también unos problemas (50%)  similares a los trabajados anteriormente en clase. La duración estimada de este tipo de pruebas es de una hora.

Las distintas actividades de evaluación continua, presenciales y no presenciales, se secuenciarán de manera adecuada y se coordinarán con actividades similares de las otras asignaturas del cuatrimestre.

  • Examen:

Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de cuatro horas. El examen consistirá en un apartado de cuestiones teóricas (40%) y la resolución de unos problemas (60%). Para aprobar la asignatura será necesario superar el 30% de este examen final

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías, especialmente aquellas referentes a la revisión de los trabajos.

Las actividades de la evaluación continua no presenciales deben ser entendidas en cierta medida como una autoevaluación del estudiante que le indica más su evolución en la adquisición de competencias y auto aprendizaje y, no tanto, como una nota importante en su calificación definitiva.

Recomendaciones para la recuperación.

Se realizará un examen de recuperación en la fecha prevista en la planificación docente. Para la calificación de esta recuperación, las ponderaciones de las distintas actividades de evaluación continua, junto con el examen de recuperación, serán las siguientes: 

  • Actividades presenciales de evaluación continua: 15%.
  • Actividades no presenciales de evaluación continua: 15%.
  • Examen de recuperación: 70%.

El examen de recuperación mantendrá el 40% de teoría y el 60% de problemas, al igual que en el examen final de la primera convocatoria.

11. Organización docente semanal