ANÁLISIS MATEMÁTICO III

ANÁLISIS MATEMÁTICO III

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-09-17 14:35)
Código
100212
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OBLIGATORIA
Curso
2
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Ricardo José Alonso Blanco
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M3304
Horario de tutorías

Miércoles y jueves de 13 a 14 h.

URL Web
-
E-mail
ricardo@usal.es
Teléfono
923 29 45 00, ext. 1558

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de Variable Compleja

Papel de la asignatura.

Obligatoria. Es la generalización para funciones de varias variables de los conceptos estudiados en Análisis Matemático I. Se introducen conceptos que se generalizan en la asignatura de Topología, y se sientan las bases para el estudio de la Geometría Diferencial. También está relacionada con la asignatura Ecuaciones Diferenciales, que se imparte en el mismo curso y cuatrimestre.

Perfil profesional.

  • Docencia Universitaria e Investigación
  • Docencia no universitaria Técnico
  • Empresas de Informática y Telecomunicaciones
  • Industria Social
  • Administración pública
  • Empresas de Banca, Finanzas y Seguros
  • Consultorías

3. Recomendaciones previas

Haber cursado las asignaturas Álgebra Lineal I y II y Análisis Matemático I y II del primer curso.

4. Objetivo de la asignatura

Generales

  • Contribuir a la formación y desarrollo del razonamiento científico.
  • Proveer al alumno de capacidades de abstracción, concreción, concisión, imaginación, intuición, razonamiento, crítica, objetividad, síntesis y precisión.

Específicos

  • Conocer los conceptos fundamentales del cálculo diferencial en varias variables.
  • Formular y resolver problemas utilizando el lenguaje matemático.
  • Aplicar los conocimientos asociados al cálculo diferencial a la resolución de problemas.

5. Contenidos

Teoría.

TEMA 1. Nociones de topología en Rn

Normas en un espacio vectorial. Distancia asociada a una norma. Espacios métricos. El espacio euclídeo n-dimensional. Bolas abiertas y cerradas. Conjuntos abiertos y cerrados. Interior, exterior, frontera y puntos de acumulación de un conjunto. Compacidad. Sucesiones de Cauchy. Sucesiones convergentes. Completitud. Límite de una aplicación entre espacios normados. Propiedades. Límites según subconjuntos. Aplicaciones continuas. Propiedades. Aplicaciones lineales y multilineales continuas.

TEMA 2. Cálculo diferencial en varias variables.

Derivada de una función con un vector. Diferencial en un punto de una aplicación entre abiertos de espacios normados de dimensión finita. Expresión en coordenadas. Propiedades algebraicas de la diferencial. Regla de la cadena. Teorema del valor medio. Diferenciales de orden superior. Funciones de clase Ch. Teorema de Schwarz sobre la igualdad de derivadas cruzadas. Fórmula de Taylor. Aplicación al estudio de extremos locales.

TEMA 3. El teorema de la función inversa y aplicaciones

Teorema de la función inversa. Teorema de las funciones implícitas. Criterio de dependencia funcional. Sistemas de coordenadas curvilíneas. Noción de subvariedad diferenciable de Rn. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

Académicas

Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

  • Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del cálculo diferencial en varias variables.
  • Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
  • Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
  • Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

  • Calcular límites de funciones y saber determinar el dominio en que una función es continua, aplicando diversas técnicas.
  • Estudiar la diferenciabilidad de una función, sus derivadas con cualquier vector y sus diferenciales de orden superior.
  • Calcular desarrollos de Taylor.
  • Calcular extremos locales y condicionados de funciones de varias variables.
  • Comprender el teorema de la función inversa y sus consecuencias.
  • Estudiar si una función dada tiene inversa local.
  • Estudiar cuándo de un sistema homogéneo de ecuaciones no lineales se pueden despejar localmente ciertas variables como funciones de las demás.
  • Realizar cálculos con funciones definidas implícitamente.
  • Realizar las operaciones del cálculo diferencial en distintos sistemas de coordenadas.

Profesionales

  • Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.
  • Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.
  • Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.
  • Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.
  • Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Transversales.

Instrumentales:

  • Capacidad de organizar y planificar.
  • Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
  • Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

  • Comunicación de conceptos abstractos.
  • Argumentación racional.
  • Capacidad de aprendizaje.
  • Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

  • Creatividad.
  • Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.
  • Planificar y dirigir.

7. Metodologías

Clases magistrales

Mediante esta fórmula se desarrollarán los contenidos teóricos, siguiendo uno o dos libros de texto de referencia, en los que se incluyen las definiciones de los diferentes conceptos y su comprensión a partir de ejemplos, así como las propiedades formuladas como teoremas y corolarios, argumentando su demostración en los casos más notables. Se fijan así los conocimientos ligados a las competencias previstas y se da paso a clases prácticas de resolución de problemas.

Resolución de problemas

A través de clases prácticas se irán resolviendo los ejercicios y problemas planteados para aplicar y asimilar los contenidos, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos, de modo que en las clases prácticas los estudiantes se inicien en las competencias previstas.

Seminarios tutelados

A partir de esas clases teóricas y prácticas los profesores propondrán a los estudiantes la realización de problemas, contando con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. En esos seminarios los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias del módulo.

Trabajo personal

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas.

Realización de exámenes

Exámenes de teoría y resolución de problemas

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

Teoría:

  • J. de Burgos, Cálculo Infinitesimal de Varias Variables. McGraw-Hill, 2008.
  • J. A. Fernández Viña, Análisis Matemático II: Topología y Cálculo Diferencial. Ed. Tecnos, 1992.

Problemas:

  • F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables. Ed. Thomson.
  • J. A. Fernández Viña, E. Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Ed. Tecnos.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

Teoría:

  • T. M. Apóstol, Análisis Matemático. Ed. Reverté
  • F. del Castillo, Análisis Matemático II. Ed. Alambra.
  • J. Escuadra, J. Rodríguez, A. Tocino, Análisis Matemático. Ed. Hespérides.
  • L. H. Loomis, S. Sternberg, Advanced Calculus. Ed. Addison Wesley Longman.
  • L. M. Navas, Curso de Análisis Matemático II. Ed. LC.

Problemas:

  • M. Besada, F. J. García, M. A. Mirás, C. Vázquez, Cálculo de varias variables. Cuestiones y ejercicios resueltos. Ed. Prentice Hall.
  • F. Bombal, L. Rodríguez, G. Vera, Problemas de Análisis Matemático 2. Cálculo diferencial. Ed. AC.
  • G. L. Bradley, K. J. Smith, Cálculo de varias variables. Ed Prentice Hall.
  • A. García y otros, Cálculo II: teoría y problemas de funciones de varias variables. Ed. Clagsa.
  • L. M. Navas, Análisis Matemático II. Problemas y Soluciones. Ed. LC.

Recursos de internet:

  • En la página web del curso, a la que se accede desde la página http://www.moodle.usal.es, están disponibles los enunciados de los problemas, las hojas con las que se trabajará en los seminarios, enlaces a otros recursos en Internet y cualquier otra información que se considere útil. Asimismo es un cauce de comunicación entre profesores y alumnos.
  • En http://www.matematicas.net hay enlaces a cursos, problemas, apuntes, etc

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. Se exigirá una nota mínima en cada grupo de actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades. En el caso de los exámenes escritos, este mínimo será de 3.5 puntos sobre 10, tanto en teoría como en problemas.

Criterios de evaluación.

La evaluación valorará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico que se comprobará tanto por actividades de evaluación continua como por una prueba final por escrito.

Evaluación ordinaria:

  • Las actividades de evaluación continua (pruebas por escrito, resolución de ejercicios propuestos a lo largo del curso y participación en los seminarios) supondrán el 30% de la nota final.
  • Examen final: habrá un examen final de teoría y problemas que se realizará por escrito y cuya calificación supondrá el 70% de la nota total de la asignatura.

Examen de recuperación: Para aquellos alumnos que no hayan aprobado la asignatura en la convocatoria ordinaria habrá un segundo examen escrito de teoría y problemas con el que podrán mejorar la nota obtenida en el examen final.

La parte de la nota correspondiente a la evaluación continua no se puede recuperar.

Instrumentos de evaluación.

Evaluación continua, se valorará:

  • Pruebas presenciales.
  • Trabajo de resolución de problemas que se propondrán a lo largo del curso. El modo de evaluar este trabajo será el siguiente: La mitad de los ejercicios que han de resolver en las pruebas presenciales que forman parte de la evaluación continua serán elegidos de entre los que se han propuesto anteriormente a los alumnos.
  • Participación en los seminarios.

Examen final.

Examen de recuperación.

Recomendaciones para la evaluación.

  • En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
  • En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
  • En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.
  • Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía, discusiones con los compañeros y acudiendo al profesor.

Recomendaciones para la recuperación.

  • Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los ejercicios (acudiendo para ello a la revisión).
  • Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

11. Organización docente semanal