GEOMETRÍA DIFERENCIAL I

GEOMETRÍA DIFERENCIAL I

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-09-17 17:51)
Código
100216
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OBLIGATORIA
Curso
2
Periodicidad
Segundo Semestre
Área
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Pablo Miguel Chacón Martín
Grupo/s
sin nombre
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Segunda planta del edificio de La Merced, M3306
Horario de tutorías

Lunes, martes, miércoles, jueves y viernes de 13:00 a 14:00. (profesor Antonio López Almorox)

Lunes y martes de 11h a 12h, miércoles y viernes de 13h a 14h. (profesor Pablo Miguel Chacón Martín)

URL Web
http://mat.usal.es/~pmchacon
E-mail
pmchacon@usal.es
Teléfono
923 29 44 59
Profesor
Antonio López Almorox
Grupo/s
sin nombre
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced M3317
Horario de tutorías

Lunes, martes, miércoles, jueves y viernes de 13:00 a 14:00. (profesor Antonio López Almorox)

Lunes y martes de 11h a 12h, miércoles y viernes de 13h a 14h. (profesor Pablo Miguel Chacón Martín)

URL Web
http://mat.usal.es
E-mail
alm@usal.es
Teléfono
923294500, Ext. 1562

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura pertenece al módulo formativo “Topología y Geometría Diferencial” el cual incluye además la asignatura “Topología”.

Papel de la asignatura.

Su carácter es obligatorio  y su docencia está programada en el segundo semestre del 2º curso una vez que el estudiante haya cursado el primer curso,  un cálculo diferencial en varias variables  y la asignatura Topología de este mismo módulo. La asignatura se desarrollará coordinadamente con las otras materias del curso. Sus contenidos sirven de introducción para las asignaturas optativas del módulo Ampliación de Geometría (Geometría Diferencial II y Métodos Geométricos en Física).

Perfil profesional.

Al ser una materia obligatoria tiene interés en los perfiles profesionales vinculados a la Titulación de este Grado en Matemáticas: Académico, Técnico y Social.

3. Recomendaciones previas

Haber cursado las siguientes asignaturas del Grado: Álgebra Lineal I, Álgebra Lineal II, Análisis Matemático I, Análisis Matemático II, Análisis Matemático III, Álgebra, Topología. Esta asignatura usará también resultados que se ven en la asignatura Ecuaciones Diferenciales, que se imparte en el mismo cuatrimestre.

4. Objetivo de la asignatura

Objetivo General:

  • Introducción y contacto inicial con la Geometría Diferencial riemanniana de R3. En particular, usar el cálculo diferencial e integral y la Topología para el estudio de curvas y superficies del espacio euclídeo tridimensional.

Objetivo específico:

El estudiante debe aprender y utilizar los conceptos geométricos y algunos resultados básicos que aparecen en el estudio de la Geometría Diferencial del espacio euclídeo y sus subvariedades diferenciables (curvas y superficies riemannianas). Mediante un breve desarrollo teórico y de adecuados y suficientes ejemplos, el estudiante deberá saber manejar tanto el lenguaje como las técnicas, de carácter local, propias de la asignatura. El énfasis de los aspectos locales de esta materia servirá de introducción y motivación al concepto de variedad diferenciable que podrá estudiarse en la asignatura de Geometría Diferencial II del tercer curso.

5. Contenidos

Teoría.

Geometría diferencial  de curvas del  espacio euclídeo n-dimensional 

  • Curvas parametrizadas y campo de velocidades. Longitud de una curva. Reparametrización de una curva.
  • Campos vectoriales con soporte una curva parametrizada. Paralelismo euclídeo y derivación covariante euclídea a lo largo de una curva. Referencias y fórmulas de Frenet.
  • Estudio de las curvas planas y tridimensionales. Torsión y curvatura de una curva. Clasificación bajo movimientos euclídeos.
  • Algunas propiedades globales de las curvas euclídeas.

Geometría diferencial  de superficies del espacio euclídeo tridimensional

  • Concepto de superficie. Ecuaciones paramétricas e implícitas. Espacio tangente en un punto a una superficie. Campos tangentes a una superficie. Elemento de área de una superficie.  
  • Primera y segunda forma fundamental. Ecuación de Gauss. Endomorfismo de Weingarten. Curvaturas principales y direcciones principales. Curvatura media y curvatura de Gauss. Clasificación de los puntos de una superficie.
  • Curvaturas geodésica y normal. Teoremas de Euler y Meusnier. Geodésicas sobre una superficie.
  •  Teorema egregio de Gauss y ecuaciones de Codazzi-Mainardi. Contenido geométrico del teorema fundamental de la teoría de superficies.
  •   Algunas propiedades globales de las superficies del espacio euclídeo tridimensional: Enunciado y aplicaciones del teorema de Gauss-Bonnet.

Geometría diferencial  de subvariedades del espacio euclideo n-dimensional 

  •  Ecuaciones paramétricas e implícitas de una subvariedad. Espacio tangente a una subvariedad  en un punto.
  • Campos de vectores tangentes y normales con soporte en una subvariedad.  Conexión inducida. La conexión normal. Formas fundamentales.  Geodésicas en subvariedades. Estudio de las hipersuperficies. Tensor de curvatura.  Las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

  • Reconocer la naturaleza de los puntos de una curva en R3 . Cálculo de curvatura y torsión. El alumno debe conocer los conceptos de curva regular y saber caracterizar sus propiedades diferenciables locales.
  • Reconocer la naturaleza de los puntos de una superficie de  R3.  Cálculo de la curvatura de Gauss, curvatura media y curvaturas principales. El alumno debe conocer los conceptos de superficie regular y saber caracterizar sus propiedades diferenciables locales.
  • Aplicar las integrales de línea y superficie para reconocer algunas propiedades globales de curvas y superficies.
  • Reconocer qué problemas geométricos en el espacio euclídeo pueden ser abordados con las técnicas de la Geometría Diferencial riemanniana, y debe saber plantearlos y resolverlos.
  • Comprender que la Geometría Diferencial es una buena aproximación a algunos de los problemas de la realidad, que la hacen una herramienta útil en diversas aplicaciones de las Matemáticas.

Transversales.

  • Capacidad de análisis y síntesis.
  • Resolución de problemas.
  • Razonamiento crítico.
  • Habilidades en las relaciones interpersonales.
  •  Aprendizaje autónomo.
  • Motivación por la calidad.
  •  Capacidad de organización y planificación
  • Trabajo en equipo.
  • Adaptación a nuevas situaciones.   

7. Metodologías

Se expondrá un breve contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, utilizando los libros de texto de referencia y el uso de medios informáticos, que servirán para fijar los conocimientos necesarios para desarrollar las competencias previstas.

Las clases presenciales de problemas permitirán a los estudiantes profundizar en los conceptos desarrollados Para alcanzar tal fin, los estudiantes dispondrán, vía la plataforma Studium o en fotocopias, de aquel material docente que se estime oportuno y en particular de los correspondientes enunciados de problemas con objeto de poder trabajar en ellos con antelación. 

Con objeto de conseguir una mayor comprensión de los conceptos y destreza en las técnicas expuestas, se propondrán diferentes problemas y/o cuestiones teóricas a los estudiantes  para cuya realización contarán con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. Estos seminarios se tratarán de clases prácticas muy participativas en las que se fomentará la discusión y donde los estudiantes podrán compartir con sus compañeros las dudas que encuentren, estudiar diferentes alternativas para obtener solución a las mismas, compararlas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias de la asignatura.  Durante el desarrollo de estos seminarios, el profesor responderá a las dudas que surjan y propondrán, para su consideración y debate entre los estudiantes, las diferentes propuestas que hayan aparecido en la resolución de los ejercicios propuestos. Para facilitar una atención más personalizada, el grupo total del curso se desdoblará en dos grupos por cada seminario con diferentes horarios, lo que implica mayor carga docente al profesorado al repetir semanalmente dos veces estos seminarios. El profesor de la asignatura entregará el material necesario (enunciados de problemas, cuestiones teóricas, etc.) que será debatido en cada seminarios.

Cada estudiante deberá también resolver y entregar, en el plazo indicado, un trabajo de carácter individual que será evaluable según las directrices que se indican más abajo. Previo a su entrega, cada estudiante tendrá la posibilidad de consultar y discutir sus observaciones con el profesor de prácticas en los horarios de tutoría. Se fomentará siempre el rigor científico durante el desarrollo del trabajo.  El profesor podrá llamar al estudiante para cualquier aclaración sobre el trabajo realizado antes de la evaluación final del mismo.

Los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría y práctica de la asignatura con la resolución de otros problemas y con la preparación de sus trabajos, para alcanzar con éxito las competencias previstas.

A lo largo del curso, se establecerán dos pruebas de evaluación y/o controles de seguimiento  presencial con las que tanto el profesorado como los propios estudiantes podrán valorar la adquisición de las competencias parciales alcanzadas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

Manuales para teoría:

  • M. Ángeles Hernández Cifre y J. Antonio Pastor González: Un curso de Geometría Diferencial. Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador. CSIC. Madrid, 2010.
  • K. Tapp: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, 2016
  • J. Oprea: Differential Geometry and Its Applications. Prentice Hall. 2ª edición. 2007.
  • W. Kühnel: Differential Geometry. Curves-Surfaces-Manifolds. Second Edition. Student Mathematical Library. Vol. 16. American Mathematical  Society. 2006.

Manuales para problemas:

  • J. Manuel Gamboa, Antonio F. Costa  y Ana M. Porto: Notas de Geometría Diferencial de curvas y superficies: Teoría y ejercicios. Editorial Sanz y Torres. 2005. 
  • S. Mischenko, Y. P. Soloviov y A. T. Fomenko: Problemas de Geometría Diferencial y Topología. Rubiños-1860, S.A. 1994.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • Manfredo P. do Carmo: Geometría Diferencial de curvas y superficies. Alianza Universidad Textos. Volumen 135. 1990.
  • A. Gray, E. Abbena y S. Salamon: Modern differential geometry of curves and surfaces with mathematica (3ª edición).  Editorial Chapman and Hall/ CRC. 2006
  • Barret O’ Neill: Elementos de Geometría Diferencial. Editorial Limusa Wesley. 1972.
  • Sebastián Montiel y Antonio Ros: Curvas y superficies. Proyecto Sur de Ediciones SL. 1996.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará fundamentalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente mediante los controles de seguimiento y la posible recuperación de las carencias detectadas, el trabajo propuesto o la participación activa en las clases y seminarios del curso, así como con un examen final.

Criterios de evaluación.

Pruebas de evaluación continua y controles de seguimiento (30 %):

  • Se establecerán dos pruebas de evaluación y/o controles de seguimiento escritos con las que se valorará la adquisición de competencias parciales alcanzadas por el estudiante. Estas pruebas de evaluación continua constituirán el 30 % de la calificación final de la asignatura.
  • Se exigirá obtener un mínimo del 20 % de esta parte evaluación para poder aprobar la asignatura en la convocatoria ordinaria.

Trabajo individual (20 %):

  • Se valorará la correcta elaboración del trabajo realizado, su rigor científico, su claridad y concisión matemática.  La valoración de trabajo individual será del 20% en la calificación final de la asignatura.

Examen final (50 %):

  • Se hará una evaluación global escrita final de la asignatura donde se valorará y comprobará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico.
  • El examen final constará de una parte teórica y otra de problemas cuyos pesos respectivos en el examen  serán del 40% y 60%.
  • Este examen contará un 50% de la calificación final de la asignatura  y se exigirá un mínimo del 30% de la nota, tanto en la parte teórica como en la práctica,  para aprobar.

Instrumentos de evaluación.

Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:

Actividades no presenciales de evaluación continua:

  • Se propondrá un trabajo con varios ejercicios y/o cuestiones teóricas que deberá ser entregada a los profesores. El estudiante dispondrá de un tiempo limitado para su resolución y podrá resolver sus dudas consultando al profesor en horario de tutorías. El profesorado podrá llamar al estudiante para cualquier aclaración sobre el trabajo realizado antes de la evaluación final del mismo.
  • A lo largo del curso, se irán proponiendo a los estudiantes ciertas actividades de carácter teórico (completar demostraciones) cuya valoración servirá únicamente para matizar la nota de las pruebas de evaluación continua establecidas durante el curso y antes del examen final. Estas actividades serán revisadas por el profesor y comentadas en tutorías con los estudiantes que lo deseen para que así puedan conocer su evolución en la adquisición de competencias.

Actividades presenciales de evaluación continua:

  • En el horario lectivo de la materia y al acabar cada tema se realizarán dos controles de seguimiento escritos evaluables con cuestiones teóricas y/o   problemas prácticos (similares a los trabajados por el estudiante en los seminarios tutelados y hojas de prácticas).
  • Examen final escrito que se realizará en la fecha establecida en la programación docente y cuya duración aproximada será de 4 horas.

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas, especialmente la revisión del trabajo y controles realizados con el profesor en el horario de tutorías.

En cierto sentido, las actividades de evaluación continua deben ser entendidas también como una auto-evaluación de cada estudiante permitiéndole analizar su propia  evolución en el aprendizaje y la adquisición de competencias.

Recomendaciones para la recuperación.

Los estudiantes que no superen la evaluación continua anterior o alguno de los requisitos mínimos establecidos en los controles de seguimiento y/o en el examen  final deberán realizar un examen de recuperación de la parte teórica y/o práctica no superada en la fecha establecida en la programación docente. Este examen de recuperación será de características similar a las del examen final.

Con carácter general, la calificación en esta fase de recuperación se obtendrá mediante las calificaciones del examen de recuperación y las de la evaluación continua desarrollada que hayan sido superadas, utilizando la misma ponderación que en la calificación ordinaria. Sin embargo, detectadas las carencias de aprendizaje, esta ponderación podrá variar aumentando la ponderación del examen de recuperación en detrimento de la evaluación continua.

11. Organización docente semanal