ANÁLISIS COMPLEJO I

ANÁLISIS COMPLEJO I

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-09-17 19:29)
Código
100220
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Luis Manuel Navas Vicente
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M-0105
Horario de tutorías

Lunes a jueves de 14:00 a 14:45 h., viernes de 11:15-14:15 h.

URL Web
-
E-mail
navas@usal.es
Teléfono
923 294500, ext. 4946

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Ampliación de Análisis Matemático

Papel de la asignatura.

Formación optativa. Rama Ciencias.

Perfil profesional.

  • Docencia Universitaria e Investigación
  • Docencia no universitaria

3. Recomendaciones previas

Se precisan los conocimientos de Análisis Matemático I, II, III y IV y Topología (obligatoria de 2º curso).

4. Objetivo de la asignatura

Formativos

  • Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
  • Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
  • Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
  • Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
  • Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas. Específicos:
  • Asimilar los contenidos detallados en el punto 5

5. Contenidos

Teoría.

TEMAS

Repaso del álgebra y aritmética compleja.

Módulo, conjugado, argumento. Representación polar. Fórmula de Euler. Raíces de la unidad.

Funciones elementales complejas.

Función exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos y potencias complejas. Propiedades básicas.

Cálculo diferencial e integral complejo.

Derivadas complejas. Formas diferenciales complejas. Ecuaciones de Cauchy y Riemann. Funciones holomorfas. Caracterizaciones diferenciales de la holomorfía. Integración sobre curvas. Los teoremas de Cauchy, Goursat. Morera. Caracterizaciones integrales de la holomorfía.

Desarrollos en series de potencias.

La fórmula integral de Cauchy. Las desigualdades de Cauchy. Equivalencia entre funciones holomorfas y funciones analíticas. Series formales. Radio de convergencia. Convergencia uniforme y uniforme en compactos. Teorema de Weierstrass. Derivación e integración de series. Series de Laurent. Singularidades aisladas. Teorema de los residuos. Aplicaciones al cálculo de integrales y sumas.

Temas especiales

Ceros de las funciones analíticas. Principio de identidad. Prolongación analítica. Principio del módulo máximo. Teorema de Rouché. Ubicación de los ceros de polinomios. Funciones definidas por integrales. Funciones especiales (función gamma, función zeta).

6. Competencias a adquirir

Específicas.

CE-5: Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.

CE-6: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas Matemáticas.

7. Metodologías

Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales y de los apuntes y textos de referencia indicados por el profesor, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas. Las clases presenciales incluirán tanto la exposición de resultados teóricos abstractos como ejemplos prácticos y resolución de problemas concretos relacionados con ellos.

Se propondrá a los estudiantes la realización de trabajos personales y/o en grupo, para lo cual tendrán el apoyo del profesor en los seminarios y tutorías. Se realizarán pruebas escritas y/o orales sobre los aspectos teóricos y prácticos de las materias expuestas.

En los seminarios los estudiantes expondrán ante el profesor y el resto de la clase sus dudas acerca de los contenidos tanto teóricos como prácticos de la asignatura.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

Se proporcionarán resúmenes, hojas de problemas, tareas, etc. a través de la plataforma Studium de la Universidad de Salamanca

  • Murray R. Spiegel, Variable Compleja (Serie Schaum).
  • John Conway: Functions of One Complex Variable. Springer 1978.
  • Serge Lang: Complex Analysis. Springer Verlag, 1999.
  • J. Muñoz Díaz: Curso de Teoría de Funciones I. Ed. Tecnos. Madrid, 1978.
  • Tristan Needham: Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1998.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

En la plataforma Studium se proporcionará material diverso en formato electrónico, tal como apuntes, resúmenes de los temas, ejercicios resueltos, ejemplos y tareas a realizar.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada actividad a evaluar y conocimientos básicos de cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Criterios de evaluación.

  • Examen escrito: 60% de la nota final.
  • Pruebas de evaluación continua: 40% de la nota final.

Instrumentos de evaluación.

Actividades a evaluar

  • Realización y exposición de trabajos en equipo.
  • Exámenes y pruebas presenciales escritas tanto de conceptos abstractos como de resolución práctica.

Recomendaciones para la evaluación.

  • En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
  • Es fundamental referirse al material disponible en la plataforma digital Studium, llevando al día la asimilación de los apuntes y las tareas allí expuestas, así como estar al corriente de los anuncios, recomendaciones y reglas que se difundan a través de este medio.
  • Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
  • Ensayo previo de la exposición de los trabajos en un equipo, para detectar las posibles deficiencias en la asimilación de los conceptos, así como en la forma de expresión.
  • En la preparación de la parte teórica, para poder resolver las cuestiones teóricas que se propondrán, es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
  • En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas resueltos y tanto o más con los problemas propuestos, dedicando el tiempo y esfuerzo necesarios para su resolución.

Recomendaciones para la recuperación.

  • Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos, acudiendo para ello a la revisión.
  • Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

Las pruebas presenciales y examen final serán recuperables mediante un examen escrito con peso igual a la suma de esas partes.

Debido a su naturaleza de estudio continuado y esfuerzo repetido y prolongado en el tiempo, la parte correspondiente a la evaluación continua (trabajos individuales o en grupo, entregas, exposiciones, etc.) no será recuperable.

11. Organización docente semanal