ANÁLISIS FUNCIONAL

ANÁLISIS FUNCIONAL

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 25-09-17 18:16)
Código
100221
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Ángel Andrés Tocino García
Grupo/s
2
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
M3307 (Edificio de la Merced)
Horario de tutorías

Martes y jueves de 13 a 14 h. y de 17 a 19 h.

URL Web
-
E-mail
bacon@usal.es
Teléfono
923 294460 Ext. 1538

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Ampliación de Análisis Matemático

Papel de la asignatura.

Formación optativa. Rama Ciencias.

Perfil profesional.

  • Docencia Universitaria e Investigación
  • Docencia no universitaria

3. Recomendaciones previas

Se precisan conocimientos generales de Análisis Matemático I (obligatoria de primer curso), Análisis Matemático III y Topología (obligatorias de 2º curso). En particular, se hará uso de resultados relativos a sucesiones y series de números reales, normas en Rn y espacios métricos (topología, bases de una topología, compacidad, compacidad relativa, acotación total, completitud, etc.)

4. Objetivo de la asignatura

Formativos

  • Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
  • Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
  • Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
  • Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
  • Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Específicos de la asignatura

  • Establecer el teorema de Hahn-Banach y sus principales consecuencias.
  • Conocer y manejar los conceptos relativos a espacios de Banach.
  • Caracterizar los espacios de dimensión finita por la compacidad de las bolas cerradas.
  • Estudiar las consecuencias en espacios de Banach del teorema de Baire.
  • Introducir los espacios de Hilbert como generalización de los espacios euclídeos de dimensión finita.
  • Introducir el concepto de base ortonormal y su caracterización.
  • Clasificar los espacios de Hilbert por su dimensión.
  • Introducir el concepto de operador compacto y proponer ejemplos ilustrativos.
  • Mostrar la alternativa de Fredholm y su aplicación a las ecuaciones.
  • Analizar las propiedades del espectro de un operador compacto y autoadjunto.
  • Establecer el teorema espectral para operadores compactos y autoadjuntos.

5. Contenidos

Teoría.

ESPACIOS DE BANACH

  • Espacios normados. Normas y seminormas. Normas equivalentes. Subespacios de un espacio normado. Series en un espacio normado. Bases de Schauder.
  • Aplicaciones lineales contínuas entre espacios normados. Caracterización. Norma de una aplicación lineal contínua. El espacio L(X,Y).
  • El espacio dual. Formas lineales continuas. El espacio X'. El teorema de Hahn-Banach y sus corolarios.
  • Espacios de Banach. Caracterización en términos de sus series normalmente convergentes. Completación de un espacio normado. Completitud de las aplicaciones lineales contínuas de un espacio normado en un espacio de Banach.
  • Espacios de dimensión finita. Completitud, equivalencia de las normas y caracterización de los compactos. El teorema de Riesz.
  • El teorema de Banach-Steinhaus. El principio de acotación uniforme. El principio de condensación de singularidades. Aplicaciones.
  • El teorema de la aplicación abierta. El teorema del homeomorfismo. Aplicaciones. El teorema de la gráfica cerrada.
  • La aplicación lineal traspuesta. Espacio incidente a un subconjunto. Propiedades. Relaciones de incidencia entre núcleos e imágenes.
  • Espacios reflexivos. Inyección canónica en el bidual. Espacios reflexivos. Conservación de la reflexividad por isomorfismos isométricos. Reflexividad del dual.

ESPACIOS DE HILBERT

  • Espacios de Hilbert. Producto interior. Espacios pre-hilbertianos. Desigualdad de Schwartz. Norma asociada a un producto interior. Ley del paralelogramo. Espacios de Hilbert.
  • Ortogonalidad. Teorema de Pitágoras. Complemento ortogonal de un subconjunto. Mejor aproximación a un convexo cerrado. Descomposición de un espacio de Hilbert como suma ortogonal de cada subespacio cerrado y su ortogonal. Sistemas ortogonales y ortonormales. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
  • Dualidad en espacios de Hilbert. El teorema de representación de Riesz. El producto interior de H'. Reflexividad de los espacios de Hilbert.
  • Proyecciones ortogonales. Propiedades. Caracterización. Ecuaciones de la proyección ortogonal en un subespacio de dimensión finita.
  • Operadores autoadjuntos. Operador adjunto de una aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert. Propiedades. Relaciones de ortogonalidad entre núcleos e imágenes. Operadores autoadjuntos.
  • Bases ortonormales. Desigualdad de Bessel. Bases ortonormales. Coeficientes de Fourier. Sistemas ortonormales completos. Equivalencia entre bases ortonormales, sistemas ortonormales completos y conjuntos ortonormales que satisfacen la identidad de Parseval.
  • Clasificación de los espacios de Hilbert. Existencia de bases ortonormales. Dimensión hilbertiana. Clasificación de los espacios de Hilbert por su dimensión. Caracterización de los espacios de Hilbert separables.

TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES

  • Operadores compactos. Compacidad de operadores de rango finito. Propiedades del espacio de los operadores compactos entre dos espacios normados. Compacidad del operador traspuesto.
  • La alternativa de Fredholm. Relaciones de incidencia entre núcleos e imágenes. La alternativa de Fredholm.
  • El espectro de un operador contínuo. Operadores invertibles en espacios de Banach. Valor espectral de un operador. Espectro. Valores propios. Espectros puntual y continuo. Compacidad del espectro de un operador contínuo. El espectro de un operador compacto. El espectro de un operador autoadjunto. Propiedades de los valores y vectores propios de un operador autoadjunto. Propiedades de los valores espectrales de un operador autoadjunto.
  • Teorema espectral. Teorema espectral para operadores compactos y autoadjuntos. Forma canónica. Aplicaciones.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

CE-5: Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.

CE-6: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas Matemáticas.

7. Metodologías

Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, siguiendo uno o dos libros de texto de referencia, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas y dar paso a clases prácticas de resolución de problemas, en los que se aplicarán las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos.

A partir de esas clases teóricas y prácticas se propondrán a los estudiantes la realización de trabajos personales sobre teoría y problemas, para cuya realización tendrán el apoyo del profesor en seminarios tutelados. En esos seminarios los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias del módulo. Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de su exposición. De ello tendrán que responder, resolviendo los problemas en el aula una vez preparados, exponiéndolos ante el profesor y el resto de compañeros y comentándolos luego en una tutoría personal entre estudiante y profesor, así como realizando exámenes de teoría y resolución de problemas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • Bachman, G.; Narici, L. Functional Analysis. Dover, 2000
  • Tocino, A., Maldonado, M. Problemas resueltos de Análisis Funcional. Cervantes, Salamanca, 2003

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • Brezis, H. Análisis Funcional. Alianza Universidad, 1983.
  • Cascales, B.; Mira, J.M. Análisis Funcional. Universidad de Murcia, 2002.
  • El Kacimi, A. Introducción al Análisis Funcional. Reverté, 1994.
  • Friedman, A. Foundations of Modern Analysis, Dover, 1970.
  • Friedrichs, K.O. Spectral Theory of Operator in Hilbert Space. Springer, 1973.
  • Halmos, P.R. A Hilbert space problem book, Van Nostrand, 1967.
  • Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Mir, 1978.
  • Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. Functional Analysis, Dover, 1990
  • Taylor, A.; Lay, D. Introduction to Functional Analysis. R.E. Krieger Publishing Co., 1986.
  • Young, N. An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, 1988.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Criterios de evaluación.

  • Examen escrito: 60% de la nota final.
  • Ejercicios en el aula (previa preparación) y su exposición: 40% de la nota final.

Para obtener una evaluación final positiva se exigirá una puntuación mínima de 3 sobre 10 en cada una de las partes del examen escrito (teoría y problemas).

Instrumentos de evaluación.

Actividades a evaluar

  • Realización periódica de ejercicios en el aula. Los ejercicios se propondrán con la antelación e indicaciones suficientes para ser resueltos antes de su realización en el aula, que se llevará a cabo sin utilizar las notas o apuntes utilizados en su preparación.
  • Exposiciones orales de los ejercicios.
  • Exámenes escritos:
    • de teoría (conocimiento de conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en las clases magistrales)
    • de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves)

Recomendaciones para la evaluación.

  • En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
  • Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
  • En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
  • Ensayo previo de la exposición de los trabajos para detectar las posibles deficiencias en el la asimilación de los conceptos, así como en la forma de expresión.
  • En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en los libros de texto recomendados, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

Recomendaciones para la recuperación.

  • Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos, acudiendo para ello a la revisión.
  • Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

11. Organización docente semanal