Esta materia pertenece al módulo formativo “Ampliación de Álgebra” ,  el cual incluye además las materias Ampliación de Álgebra Conmutativa, Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois, Geometría Algebraica y Representaciones de Grupos finitos.

Su carácter es optativo vinculada a la materia de Matemáticas de la Rama de Ciencias

Como el resto de materias del módulo, está recomendada únicamente en el itinerario académico, esto es, para personas interesadas en prepararse para un perfil profesional de docencia e investigación en Matemáticas tanto universitaria como no universitaria.

TEMA 1: Teoría de módulos y k-álgebras.

Módulos. Sucesiones exactas de módulos: Lema de la Serpiente. Producto tensorial de módulos: definición de producto tensorial, propiedad universal, ejemplos, álgebras, características del producto tensorial de álgebras. Exactitud del producto tensorial: módulos planos y fielmente planos, definiciones y ejemplos. Álgebra simétrica y hemisimétrica.

TEMA 2: Localización

Anillos y módulos de fracciones: definiciones y ejemplos, morfismo de localización.

Propiedades de la localización: exactitud, platitud y preservación de la condiciones de finitud de un módulo. Propiedades locales de los módulos: anulación y exactitud. Lema de Nakayama.

TEMA 3: Teoría de la longitud y clasificación de módulos.

Teoría de la longitud. Módulos simples, serie de composición, aditividad de la longitud, longitud y dimensión.

TEMA 4: Módulos noetherianos.

Módulos noetherianos y artinianos: definiciones, caracterizaciones y ejemplos. Noetherianidad de los anillos de polinomios: teorema de la base de Hilbert. Consecuencias del teorema de la base de Hilbert.

TEMA 5: Diferenciales y Derivaciones.

Derivaciones: definición, ejemplos, módulo de las derivaciones, sucesiones exactas de derivaciones, espacio tangente de Zariski. Diferenciales: definición de diferencial, módulo de diferenciales relativas a un morfismo de anillos, propiedades universal, sucesiones exactas de diferenciales.

·        Operar con el producto tensorial y la localización de módulos en ejemplos concretos.

·        Calcular espectros de anillos cocientes de los anillos de polinomios y reconocerlos como variedades algebraicas afines.

·        Reconocer anillos diferentes con el mismo espectro y morfismos algebraicos entre variedades afines.

·        Calcular espectros de anillos utilizando la fórmula de la fibra de un morfismo entre espectro.

·         Manejar el algoritmo de división  multivariado en algún programa computacional.

·         Comprender el significado de la noetherianidad de un anillo (todos sus ideales son finito generados) y aplicarlo a las ecuaciones de las variedades afines.

·         Saber comprobar cuando un polinomio en varias variables pertenece a un ideal.

·         Computar y operar con bases de Gröebner de ideales con la ayuda de sistemas de álgebra computacional. Saber la utilidad de las bases de Gröebner en los problemas algebro-geométricos y manejar los algoritmos (implicitación, intersección de ideales, etc.) que éstas proporcionan.

·        Calcular derivaciones y diferenciales de anillos sencillos, particularmente anillos de curvas planas y de hipersuperficies. Calcular diferenciales relativas para morfismos sencillos de anillos.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1, CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

·       M. Atiyah, J.M. Macdonall, “Introducción al álgebra conmutativa”. Ed Reverte (1989)

·       J.A. Navarro, “Álgebra Conmutativa Básica”, Manuales de la UNEX, 19.

·       M. Reid, “Undergraduate Commutative Algebra”, London Mathematical Society Student Texts, 29 Cambridge University Press, Cambridge (1995).

·        D. Eisenbud,  ``Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry". Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, (1995).

·        E. Kunz,  ``Introduction to commutative algebra and algebraic geometry". Translated from the German by Michael Ackerman. With a preface by David Mumford. Birkh\"{a}user Boston, Inc., Boston, MA, (1985).

Material proporcionado a través del Campus on-line de la Facultad de Ciencias.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación,  conjuntamente con un examen final.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Actividades Presenciales de evaluación continua:

• En el horarios lectivo de la materia, se realizarán una o dos pruebas de una hora de duración y se realizarán en las fechas previstas a tal fin en la planificación docente.

·        Eventualmente el estudiante expondrá en clase tanto resultados teóricos como problemas.

Examen:

• Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de 4 horas

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías.

Se realizará un examen de recuperación en la fecha establecida en la programación docente.