ÁLGEBRA CONMUTATIVA Y COMPUTACIONAL

ÁLGEBRA CONMUTATIVA Y COMPUTACIONAL

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-09-17 18:56)
Código
100223
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ÁLGEBRA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Carlos Sancho de Salas
Grupo/s
sin nombre
Departamento
Matemáticas
Área
Álgebra
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
M3315 Edificio de la Merced
Horario de tutorías

Lunes, Miércoles y Viernes de 13:00 a 14:00 horas (profesor Carlos Sancho de Salas)

Lunes y Martes de 16:00 a 18:00 horas (profesor Daniel Hernández Serrano)

URL Web
-
E-mail
mplu@usal.es
Teléfono
923 29 49 44
Profesor
Daniel Hernández Serrano
Grupo/s
sin nombre
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
M332 (Matemáticas)
Horario de tutorías

Lunes, Miércoles y Viernes de 13:00 a 14:00 horas (profesor Carlos Sancho de Salas)

Lunes y Martes de 16:00 a 18:00 horas (profesor Daniel Hernández Serrano)

URL Web
-
E-mail
dani@usal.es
Teléfono
923 29 44 60 Ext:1553

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta materia pertenece al módulo formativo “Ampliación de Álgebra” ,  el cual incluye además las materias Ampliación de Álgebra Conmutativa, Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois, Geometría Algebraica y Representaciones de Grupos finitos.

Papel de la asignatura.

Su carácter es optativo vinculada a la materia de Matemáticas de la Rama de Ciencias

Perfil profesional.

Como el resto de materias del módulo, está recomendada únicamente en el itinerario académico, esto es, para personas interesadas en prepararse para un perfil profesional de docencia e investigación en Matemáticas tanto universitaria como no universitaria.

3. Recomendaciones previas

Los requisitos previos para seguir esta materia se obtendrían habiendo cursado una asignatura sobre Introducción a la  Topología, como la “Topología” propuesta como materia obligatoria en el primer semestre del 2º curso de la titulación de Grado en Matemáticas, y una asignatura sobre Álgebra Básica, como el “Álgebra” materia obligatoria en el primer semestre del 2º curso de la titulación de Grado en Matemáticas. Se recomienda también cursar esta asignatura simultáneamente con Geometría Proyectiva.

4. Objetivo de la asignatura

Esta asignatura tiene cuatro objetivos fundamentales:

1. Proporcionar al alumno conocimientos básicos y técnicas de uso de anillos conmutativos y módulos sobre ellos, que se utilizan en otras materias, como la Topología algebraica, la Geometría Diferencial y el Análisis. En Geometría diferencial y Análisis se consideran anillos de funciones (continuas, diferenciales, holomorfas) y módulos sobre ellas (campos, formas, tensores, secciones de fibrados) y la familiaridad de uso del Álgebra Conmutativa es un importante elemento para su comprensión, en un grado que depende de las materias y de su particular presentación al alumno.

2.Establecer las bases para el estudio de la Geometría Algebraica, de la que el  Álgebra Conmutativa es uno de los lenguajes básicos. El alumno deberá comprender como la Geometría de las variedades algebraicas afines es equivalente al Álgebra Conmutativa.

3. Aprender a deducir propiedades algebraicas de anillos y módulos a partir de propiedades geométricas.

5. Contenidos

Teoría.

TEMA 1: Teoría de módulos y k-álgebras.

Módulos. Sucesiones exactas de módulos: Lema de la Serpiente. Producto tensorial de módulos: definición de producto tensorial, propiedad universal, ejemplos, álgebras, características del producto tensorial de álgebras. Exactitud del producto tensorial: módulos planos y fielmente planos, definiciones y ejemplos. Álgebra simétrica y hemisimétrica.

TEMA 2: Localización

Anillos y módulos de fracciones: definiciones y ejemplos, morfismo de localización.

Propiedades de la localización: exactitud, platitud y preservación de la condiciones de finitud de un módulo. Propiedades locales de los módulos: anulación y exactitud. Lema de Nakayama.

TEMA 3: Teoría de la longitud y clasificación de módulos.

Teoría de la longitud. Módulos simples, serie de composición, aditividad de la longitud, longitud y dimensión.

TEMA 4: Módulos noetherianos.

Módulos noetherianos y artinianos: definiciones, caracterizaciones y ejemplos. Noetherianidad de los anillos de polinomios: teorema de la base de Hilbert. Consecuencias del teorema de la base de Hilbert.

TEMA 5: Diferenciales y Derivaciones.

Derivaciones: definición, ejemplos, módulo de las derivaciones, sucesiones exactas de derivaciones, espacio tangente de Zariski. Diferenciales: definición de diferencial, módulo de diferenciales relativas a un morfismo de anillos, propiedades universal, sucesiones exactas de diferenciales.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

·        Operar con el producto tensorial y la localización de módulos en ejemplos concretos.

·        Calcular espectros de anillos cocientes de los anillos de polinomios y reconocerlos como variedades algebraicas afines.

·        Reconocer anillos diferentes con el mismo espectro y morfismos algebraicos entre variedades afines.

·        Calcular espectros de anillos utilizando la fórmula de la fibra de un morfismo entre espectro.

·         Manejar el algoritmo de división  multivariado en algún programa computacional.

·         Comprender el significado de la noetherianidad de un anillo (todos sus ideales son finito generados) y aplicarlo a las ecuaciones de las variedades afines.

·         Saber comprobar cuando un polinomio en varias variables pertenece a un ideal.

·         Computar y operar con bases de Gröebner de ideales con la ayuda de sistemas de álgebra computacional. Saber la utilidad de las bases de Gröebner en los problemas algebro-geométricos y manejar los algoritmos (implicitación, intersección de ideales, etc.) que éstas proporcionan.

·        Calcular derivaciones y diferenciales de anillos sencillos, particularmente anillos de curvas planas y de hipersuperficies. Calcular diferenciales relativas para morfismos sencillos de anillos.

Transversales.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1, CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

7. Metodologías

Esta materia se desarrollará coordinadamente con las otras materias del módulo formativo. Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, siguiendo uno o dos libros de texto de referencia, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas y dar paso a clases prácticas de resolución de problemas, en los que se aplicarán las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas.

 

A partir de esas clases teóricas y prácticas la profesora propondrán a los estudiantes la realización de trabajos personales sobre teoría y problemas, para cuya realización tendrán el apoyo del profesor a través de las tutotías. En estas tutorías los estudiantes podrán exponen al profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias de la materia.

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos, para alcanzar las competencias previstas. De ello tendrán que responder, exponiendo sus trabajos ante el profesor y el resto de compañeros, así como realizando exámenes de teoría y resolución de problemas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

·       M. Atiyah, J.M. Macdonall, “Introducción al álgebra conmutativa”. Ed Reverte (1989)

·       J.A. Navarro, “Álgebra Conmutativa Básica”, Manuales de la UNEX, 19.

·       M. Reid, “Undergraduate Commutative Algebra”, London Mathematical Society Student Texts, 29 Cambridge University Press, Cambridge (1995).

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

·        D. Eisenbud,  ``Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry". Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, (1995).

·        E. Kunz,  ``Introduction to commutative algebra and algebraic geometry". Translated from the German by Michael Ackerman. With a preface by David Mumford. Birkh\"{a}user Boston, Inc., Boston, MA, (1985).

Material proporcionado a través del Campus on-line de la Facultad de Ciencias.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación,  conjuntamente con un examen final.

Criterios de evaluación.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Actividades

Peso en la calificación definitiva

 Mínimo sobre 10 que hay que obtener para poder superar la materia

Actividades Presenciales de evaluación continua

30%

2

Examen de la parte teórica

35%

3

Examen de la parte práctica

35%

3

 

Instrumentos de evaluación.

Actividades Presenciales de evaluación continua:

  • En el horarios lectivo de la materia, se realizarán una o dos pruebas de una hora de duración y se realizarán en las fechas previstas a tal fin en la planificación docente.

·        Eventualmente el estudiante expondrá en clase tanto resultados teóricos como problemas.

Examen:

  • Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de 4 horas

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías.

Recomendaciones para la recuperación.

Se realizará un examen de recuperación en la fecha establecida en la programación docente.

11. Organización docente semanal