GEOMETRÍA DIFERENCIAL II

GEOMETRÍA DIFERENCIAL II

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 26-09-17 19:23)
Código
100224
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Fernando Sancho de Salas
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M3316
Horario de tutorías

De lunes a jueves de 17 a 18 h.

URL Web
-
E-mail
fsancho@usal.es
Teléfono
923 29 49 43

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura está incluida en el Módulo “Ampliación de Geometría” que incluye otras 3 asignaturas optativas: Geometría Proyectiva, Métodos Geométricos en Física y Topología Algebraica.

Papel de la asignatura.

Se trata de una asignatura optativa, como todas las asignaturas planificadas para este cuatrimestre, y es la continuación natural de Geometría Diferencial I del curso anterior. Los contenidos serán necesarios, principalmente, para la asignatura Métodos Geométricos de la Física (del mismo módulo).

Perfil profesional.

Esta asignatura tiene interés para todos los perfiles profesionales de este Grado.

3. Recomendaciones previas

Se recomienda haber cursado Geometría Diferencial I, los cursos que sirven de recomendación previa de esa materia (Álgebra Lineal I y II; Análisis Matemático I, II y III; Topología y Ecuaciones Diferenciales) y también haber cursado la asignatura Geometría.

4. Objetivo de la asignatura

  • Conocer y comprender los objetos básicos de la geometría diferencial: variedades diferenciables, aplicaciones diferenciables, espacio tangente y cotangente, subvariedades, campos de vectores, etc; así como sus resultados más básicos.
  • Conocer y manejar algunos ejemplos notables de variedades y subvariedades.
  • Manejar con soltura campos tensoriales y formas diferenciables así como los operadores diferencial exterior, producto interior y derivada de Lie.
  • Conocer y manejar los operadores conexión (o derivada covariante), torsión y curvatura así como sus propiedades.
  • Conocer el transporte paralelo y las geodésicas.
  • Saber lo que es una métrica sobre una variedad y los objetos que induce: longitud de curvas, conexión de Levi-Civita, tensor de curvatura de Riemann-Christoffel, etc.

5. Contenidos

Teoría.

Tema 1. Variedades diferenciables: Atlas, estructura diferenciable. Funciones diferenciables. Aplicaciones diferenciables, difeomorfismos.

Tema 2. Espacio tangente: Espacio tangente en un punto. Vector tangente a una curva. Espacio cotangente. La diferencial en un punto de una aplicación diferenciable.

Tema 3. Subvariedades y sumersiones: Inmersiones, subvariedades y embebimientos. Subvariedades definidas por ceros de funciones. Sumersiones

Tema 4. Campos vectoriales: Campos de vectores diferenciables. El corchete de Lie. Curva integral de un campo. Flujo de un campo.

Tema 5. Cálculo diferencial en variedades: Campos de 1-formas. Campos de tensores diferenciables. El producto interior. La derivada de Lie de un tensor. La diferencial exterior. Conexión lineal. Transporte paralelo. Geodésicas. Torsión y curvatura de una conexión.

Tema 6. Variedades riemannianas: Métricas riemannianas. Longitud de una curva. Conexión de Levi-Civita. Tensor de Riemann-Christoffel. Curvatura seccional. Aplicación al estudio de subvariedades

6. Competencias a adquirir

Específicas.

  • Reconocer la estructura de variedad diferenciable. Saber cuándo un conjunto de funciones constituyen un sistema local de coordenadas. Determinar si una aplicación entre variedades diferenciables es diferenciable y establecer su expresión en coordenadas locales.
  • Construir el espacio tangente en un punto de una variedad. Conocer el concepto de vector tangente a una curva. Construir el espacio cotangente en un punto. Conocer la construcción de la aplicación tangente en un punto, y su traspuesta. Calcular la matriz jacobiana de una aplicación tangente y su uso para analizar propiedades locales de una aplicación diferenciable. Conocer si una aplicación diferenciable es un difeomorfismo local o global.
  • Saber cuándo una aplicación diferenciable concreta es una inmersión o sumersión local en un punto. Reconocer embebimientos. Determinar si los ceros de varias funciones reales constituyen una subvariedad diferenciable. Calcular el espacio tangente a una subvariedad. Conocer el teorema de estructura local de las inmersiones y sumersiones.
  • Conocer y saber construir campos vectoriales en diferentes variedades diferenciables. Saber si un campo vectorial es tangente a una subvariedad. Calcular el corchete de Lie de dos campos vectoriales. Conocer el concepto de curva integral de un campo y saber calcularla en algunos casos concretos. Reconocer el flujo de un campo. Decidir si una colección de transformaciones diferenciables constituyen un grupo uniparamétrico de difeomorfismos y en tal caso calcular su generador infinitesimal.
  • Construir bases locales de los campos de tensores diferenciables. Calcular la imagen inversa de un tensor covariante en coordenadas locales. Calcular la derivada de Lie de un tensor. Manipular el álgebra exterior y calcular la diferencial exterior de una forma.
  • Identificar las conexiones lineales y saber calcular su expresión en coordenadas locales. Reconocer las ecuaciones del transporte paralelo y de las geodésicas. Saber calcular el traslado paralelo de un vector a lo largo de una curva. Determinar si una curva parametrizada es una geodésica. Calcular la torsión y curvatura de una conexión lineal.
  • Conocer el concepto de métrica riemanniana y la conexión métrica asociada. Conocer ejemplos de variedades riemannianas. Calcular la longitud de una curva. Conocer las propiedades del tensor de curvatura. Calcular las curvaturas seccionales de diferentes variedades riemannianas. Reformular los principales resultados de curvas y superficies vistos en la asignatura Geometría Diferencial I.

Transversales.

  • Identificar problemas relacionados con los conceptos asimilados.
  • Saber aplicar los conocimientos adquiridos para elaborar argumentos y estrategias de resolución.
  • Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas, incluyendo el uso de las nuevas tecnologías.
  • Conseguir capacidad de análisis, síntesis y razonamiento crítico.
  • Estimular la búsqueda de la calidad en los métodos usados y de los resultados obtenidos.
  • Estimular el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
  • Adaptación a nueva situaciones.
  • Difundir conocimientos y resultados obtenidos, tanto a un interlocutor especializado como a uno de carácter general.
  • Saber exponer en público.
  • Tener capacidad de organización y planificación.
  • Trabajar en equipo.
  • Capacidad de integración en equipos multidisciplinares

7. Metodologías

El contenido se desarrollará en clases de teoría y problemas. En los seminarios se realizarán ejercicios y se resolverán dudas. Los alumnos dispondrán de una lista de ejercicios tanto teóricos como prácticos, parte de los cuales se resolverán en clase y otra parte los deberá resolver el alumno por su cuenta. Se realizarán controles periódicos teóricos-prácticos.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • J. M. Gamboa y J. M. Ruiz, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Ed. Sanz y Torres.
  • J. M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • W. M Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press
  • M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhäuser, 1983.
  • C. M. Currás, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Publicaciones de la Universitat de Barcelona.
  • P. M. Gadea y J. Muñoz-Masqué, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers.
  • N. J. Hicks, Notas sobre geometría diferencial, editorial Hispano Europea.
  • J. M. Lee, Riemannian manifolds; an introduction to curvature, Springer, 1997.
  • P. Lucas, Variedades diferenciables y topología, ed. Diego Marín, 1999

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación del alumno se hará de modo continuo junto con un examen final.

Criterios de evaluación.

El examen final contará un 50%, y habrá de obtenerse un mínimo de 3 sobre 10.

Los controles teórico-prácticos contarán un 50%.

Instrumentos de evaluación.

Se realizarán periódicamente controles teórico-prácticos, que los alumnos realizarán por escrito.

Recomendaciones para la evaluación.

Asistencia a clase y participación en las distintas actividades propuestas.

11. Organización docente semanal