GEOMETRÍA PROYECTIVA

GEOMETRÍA PROYECTIVA

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-07-17 21:38)
Código
100226
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Esteban Gómez González
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Planta Baja Ed. Merced. M1322
Horario de tutorías

L 13-14; X 13-14; J 13-14;  V 13-14

URL Web
-
E-mail
esteban@usal.es
Teléfono
923 29 4949

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura pertenece al módulo “Geometría” conjuntamente con las siguientes: Geometría Diferencial II, Métodos Geométricos en Física, Ampliación de Topología y Topología Algebraica.

Papel de la asignatura.

Esta asignatura se encuentra en un bloque encuadrado en los cursos tercero y cuarto y en el que todas sus asignaturas son de carácter optativo. Es un bloque diseñado para la especialización en el perfil académico (primordialmente) y técnico (secundariamente). Todo él se encuentra dentro del ámbito de la Geometría y Topología. La asignatura aborda el estudio de la Geometría Proyectiva, constituyendo una de las primeras situaciones prácticas en las que el estudiante aprenderá que un problema admite distintos lenguajes para su formulación y resolución.

Perfil profesional.

Perfil académico y técnico.

3. Recomendaciones previas

Se recomienda haber superado los módulos: Álgebra Lineal y Geometría (Álgebra Lineal I, Álgebra Lineal II y Geometría) y Estructuras Algebraicas (Álgebra). 

Se recomienda cursar simultáneamente con Álgebra Conmutativa y Computacional.

4. Objetivo de la asignatura

Se pretende hacer comprender al estudiante que la geometría proyectiva (como ejemplo de geometría de rectas con ciertas condiciones de relaciones entre ellas) está íntimamente relacionada con el álgebra lineal (en cuanto espacio de vectores sobre un cuerpo). Del mismo modo se desea introducir al estudiante el enfoque de Klein para el estudio de las geometrías.

En segundo lugar se aborda un problema matemático prototípico: la clasificación. En este caso, la de cónicas y cuádricas en términos del lenguaje proyectivo.

Por último, se verá la potencia de las técnicas desarrolladas para resolver problemas que involucran curvas planas que pasan por un determinado conjunto de puntos del plano proyectivo. Así se pondrá de manifiesto la posibilidad de abordar un problema con técnicas algebraicas y geométricas.

5. Contenidos

Teoría.

•  Espacios proyectivos. Subvariedades lineales proyectivas. Proyectividades.

•  Espacio afín. Afinidades, subvariedades y nociones afines. 

• Cuádricas en espacios proyectivos. Clasificación proyectiva y afín. Elementos afines de las cuádricas. 

•  Elementos de Geometría euclídea. Clasificación euclídea de cuádricas. Elementos euclídeos de las cuádricas. 

6. Competencias a adquirir

Específicas.

Manejar el lenguaje geométrico (puntos, rectas, planos, hiperplanos, incidencia, dimensión, radiaciones, etc.).

- Saber interpretar un enunciado en el dual y en términos de coordenadas.

- Saber dar las ecuaciones de las homografías y debe saber calcular la razón doble de 4 puntos e interpretarla en función de su posición relativa.

- Debe saber calcular en coordenadas las ecuaciones de las homologías y saber calcular geométricamente el trasformado de cada punto conocidos el eje, vértice y el trasformado de un punto.

- Debe conocer y saber demostrar el teorema fundamental de la geometría proyectiva.

- Ser capaz de interpretar la geometría afín (espacio afín, subvariedades afines, afinidades, etc) en el contexto de la geometría proyectiva.

- Debe saber traducir al lenguaje proyectivo los elementos de las subvariedades afines (vector posición, espacio director, ecuaciones).

- Debe saber interpretar las homologías como traslaciones u homotecias en el espacio afín.

- Debe saber interpretar geométricamente los elementos lineales de las métricas.

- Debe saber pasar al dual las hipercuádricas y sus operaciones elementales (incidencia, vértice, tangencia, la polar, etc.).

Transversales.

Saber aplicar  los conocimientos matemáticos y poseer  las competencias que suelen demostrarse por medio de  la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas.

- Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes para emitir juicios que incluyan una reflexión.

- Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

- Conocer demostraciones rigurosas.

- Asimilar  la definición de un nuevo objeto matemático, en  términos de otros  ya  conocidos,  y  ser  capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

- Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

- Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

- Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.

- Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.

- Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas. 

- Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.

7. Metodologías

Esta materia se desarrollará coordinadamente con las otras materias del módulo formativo. Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales que darán paso a clases prácticas de resolución de problemas, en las que se aplicarán las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas.

Partiendo  de  esas  clases  teóricas  y  prácticas  los  profesores  propondrán  a  los  estudiantes  la  realización  de  trabajos  personales  sobre  teoría  y problemas, para cuya  realización  tendrán el apoyo del profesor.

Para alcanzar las competencias previstas, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas y preparación de los trabajos. Bajo criterio del profesor, dichos trabajos podrán ser comentados en tutorías y/o expuestos en público. Además, se realizarán pruebas presenciales de poco peso en la nota final con el objeto de motivar al estudiante y de proporcionarle información sobre su rendimiento.

Hay que puntualizar que, para el desarrollo de las competencias referidas a la capacidad de organización así como de trabajo autónomo, debe ser el estudiante el que tome la dirección de su planificación a lo largo del curso.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

Tengamos en cuenta que se trata de una asignatura de un curso avanzado, en el que el estudiante ha de adquirir y demostrar una madurez a la hora de enfrentarse a ella. Por ello, se espera de él que, de modo autónomo, sepa manejar diversas fuentes para complementar las clases presenciales.

En cuanto a la bibliografía, cabe citar los siguientes:

  •  José M. Rodríguez-Sanjurjo, Jesús M. Ruiz; Geometría proyectiva;  Addison-Wesley Iberoamericana España, D.L. 1998, ISBN         8478290168
  •  Samuel, Pierre; Projective geometry; New York: Springer, cop. 1988, Undergraduate texts in mathematics. ISBN 0387967524

Otra bibliografía recomendada:

  •  Alfonso Castillo, Hernando;      Lecciones de geometría proyectiva;  Universidad Pedagógica Nacional, 2006; ISBN 958-8226-86-4
  •  Hartshorne, Robin; Foundations of projective geometry; New York : W. A. Benjamin, cop. 1967
  •  Ayres, Frank; Teoría y problemas de geometría proyectiva ; McGraw-Hill, cop. 1971; Serie de Compendios Schaum
  •   Semple, John; Kneebone, G.T.; Algebraic projective geometry; Oxford : Clarendon Press, c1979; Oxford science publications; ISBN 0198531729

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

Se utilizarán los siguientes recursos:

  • Biblioteca “Abraham Zacut” de la Universidad de Salamanca. A través de la página http://sabus.usal.es/ podrán consultar el catálogo sobre los fondos bibliográficos de la Universidad de Salamanca.
  • Se usará el Campus Virtual de la USAL: http://studium2.usal.es/  para facilitar a los alumnos material didáctico, proponer trabajos, intercambiar documentación y como medio de comunicación.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación, conjuntamente con un examen final.

Criterios de evaluación.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

 

Actividades 

Peso

Mínimo sobre 10

Actividades presenciales de evaluación continua 

30%

2

Actividades no presenciales de evaluación continua 

10%

2

Examen de la parte teórica 

30%

2,5

Examen de la parte práctica 

30%

2,5

Instrumentos de evaluación.

Los instrumentos de evaluación para las actividades de evaluación continua serán:

  • Actividades no presenciales de evaluación continua: el estudiante tendrá que presentar por escrito un trabajo propuesto por el profesor.
  • Actividades presenciales de evaluación continua: el estudiante tendrá que contestar una serie de preguntas cortas así como resolver pequeños problemas.

Estas actividades podrán ser de carácter teórico y práctico y, en su programación y realización, se procurará no interferir con el normal desarrollo de las restantes asignaturas. El profesor podrá llamar a tutoría al estudiante así como solicitarle que exponga su trabajo en público. La calificación definitiva de estos trabajos tendrá en consideración la correspondiente tutorías o exposición.

Para completar la evaluación se realizará un examen final, en la fecha prevista por la Facultad de Ciencias, con una duración aproximada de 4 horas. Constará de una parte teórica y de una parte práctica.

Recomendaciones para la evaluación.

Para  la adquisición de  las competencias previstas en esta materia se  recomienda  la asistencia y participación activa en todas  las actividades programadas.

 

Las actividades de evaluación continua deben ser entendidas en gran medida como una autoevaluación del estudiante que le proporciona retroalimentación sobre su rendimiento para conseguir una progresión óptima a lo largo de todo el desarrollo de la asignatura. Por tanto, se recomienda hacer un uso responsable de estas actividades, especialmente de las no presenciales, así como complementarlo con la utilización de las tutorías.

Recomendaciones para la recuperación.

Según regulan las Normas de Permanencia de la USAL, el estudiante contará con una segunda “oportunidad de calificación”. Esta segunda calificación se obtendrá del siguiente modo: un 30% vendrá determinado por su rendimiento en las actividades de evaluación continua (20% para las presenciales, 10% para las no presenciales y con un mínimo conjunto de 2 sobre 10) y un 70% en un examen en la fecha que determine la Facultad de Ciencias (35% para teoría, 35% para problemas y con un mínimo de 2,5 sobre 10 en cada una).

11. Organización docente semanal