ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 26-09-17 19:06)
Código
100228
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Segundo Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Ricardo José Alonso Blanco
Grupo/s
2
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M3304
Horario de tutorías

Lunes y miércoles de 12 a 13 h. Jueves y viernes de 12 a 14 h

URL Web
-
E-mail
ricardo@usal.es
Teléfono
923 29 45 00, ext. 1558

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Ampliación de Ecuaciones Diferenciales

Papel de la asignatura.

Formación optativa. Rama Ciencias.

Perfil profesional.

Académico

  • Docencia Universitaria e Investigación
  • Docencia no universitaria

Técnico

  • Empresas de Informática y Telecomunicaciones
  • Industria Social
  • Administración pública
  • Empresas de Banca, Finanzas y Seguros
  • Consultorías

3. Recomendaciones previas

Los prerrequisitos que se suponen están cubiertos en las asignaturas previas del grado en Matemáticas. En concreto: Cálculo diferencial e integral en una y varias variables (Asignaturas: Análisis Matemático I, II, III y IV), Álgebra lineal básica (Asignaturas: Álgebra Lineal I y II), Fundamentos de ecuaciones diferenciales ordinarias (Asignatura: Ecuaciones Diferenciales).

4. Objetivo de la asignatura

Generales

  • Contribuir a la formación y desarrollo del razonamiento científico.
  • Proveer al alumno de capacidades de abstracción, concreción, concisión imaginación intuición razonamiento crítica, objetividad, síntesis y precisión.

Específicos

  • Relacionar distintos problemas de la geometría, la física y otras ciencias con las ecuaciones diferenciales.
  • Distinguir entre diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y algunas de sus propiedades básicas.
  • Conocer las distintas nociones de solución de una ecuación en derivadas parciales.
  • Conocer y aplicar métodos para resolver algunos tipos clásicos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

5. Contenidos

Teoría.

La teoría de ecuaciones diferenciales es uno de los temas centrales de las Matemáticas tanto por sus aplicaciones como por las diferentes técnicas con las que se puede abordar. Por ello, es difícil encontrar una rama de las matemáticas con la que no tenga fuertes relaciones. El campo de sus aplicaciones es amplísimo, siendo su origen y motivación principal la Física. El contenido de este curso consiste en un primer contacto con la teoría más clásica y algunas de las ecuaciones en derivadas parciales de mayor significado.

  1. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Sistemas de Pfaff, distribuciones y campos característicos. Solución del problema de Cauchy. Integrales completas. Integral singular.
  2. Ecuaciones en derivadas parciales de orden superior. Generalidades. Teorema de Cauchy-Kowalevsky.  Características. Clasificación de las ecuaciones de segundo orden.
  3. Ecuaciones hiperbólicas. Ecuación de ondas. Problema de Cauchy. Problemas de contorno. El método de Fourier.
  4. Ecuaciones elípticas. Ecuaciones de Laplace y de Poisson. Principio del máximo. Problema de Dirichlet. Problema de Neumann. Teoría del potencial.
  5. Ecuaciones parabólicas. Ecuación del calor. Primer problema de contorno. Principio del máximo.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

Académicas

  • Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
  • Conocer la demostración rigurosa de algunos teoremas clásicos de la teoría de ecuaciones diferenciales.
  • Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

  • Asimilar la noción de solución de ecuaciones en derivadas parciales y algunas de sus generalizaciones.
  • Resolver el problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
  • Comprender y aplicar los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones en derivadas parciales.
  • Comprender el teorema de Cauchy-Kowalevsky.
  • Distinguir diferentes tipos de ecuaciones en derivadas parciales.
  • Aplicar el método de Fourier para resolver algunos problemas de contorno en ecuaciones en derivadas parciales.
  • Conocer algunas propiedades básicas de la ecuación de ondas.
  • Conocer algunas propiedades básicas de la ecuación de Laplace.
  • Conocer algunas propiedades básicas de la ecuación del calor.

Profesionales

  • Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de procesos dinámicos utilizando ecuaciones diferenciales.
  • Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.
  • Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.
  • Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.
  • Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.

Transversales.

Instrumentales:

  • Capacidad de organizar y planificar.
  • Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
  • Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

  • Comunicación de conceptos abstractos.
  • Argumentación racional.
  • Capacidad de aprendizaje.
  • Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

  • Creatividad.
  • Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.
  • Planificar y dirigir.

7. Metodologías

  • Clases magistrales de teoría

Mediante esta fórmula se desarrollarán los contenidos teóricos básicos.

  • Clases magistrales de resolución de problemas

A través de clases prácticas se irán resolviendo ejercicios y problemas para aplicar y asimilar los contenidos.

  • Trabajo personal

Los estudiantes tendrán que desarrollar un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas y preparación de los trabajos propuestos.

  • Seminarios tutelados

Los profesores propondrán diferentes actividades de resolución de problemas o desarrollos de la teoría; los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren para obtener solución a las mismas y exponer los resultados.

  • Entrega y exposición de trabajos personales

A partir de esas clases teóricas y prácticas, los profesores, dependiendo del desarrollo del curso, podrán proponer a los estudiantes la realización de tareas o trabajos personales.

  • Pruebas escritas

Se realizarán dos pruebas parciales de teoría y resolución de problemas, que serán fijadas con suficiente antelación.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • J. Muñoz, Ecuaciones diferenciales I, Universidad de Salamanca, 1982.
  • I. G. Petrovsky, Lectures on partial differential equations, Dover Publications, New York 1991.
  • A. N. Tíjonov, A.A. Samarski, Ecuaciones de la física matemática, Ed. URSS, 1980.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • V. I. Arnold, Lectures on partial differential equations, Springer-Verlag, 2004.
  • D. Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differental equations, Springer-Verlag, 1977.
  • F. John, Partial differential equations, Springer-Verlag, 1980.
  • H. F. Weinberger, Ecuaciones en derivadas parciales, Ed. Reverté, 1988.
  • S.L.Sobolev, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Dover, 1989.
  • D. Zill, R. Cullen. Matemáticas avanzadas para ingeniería v. I Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill, 2008.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias descritas, así como el logro de los objetivos propuestos.

Criterios de evaluación.

  • Examen final: 70% de la nota final.
  • Evaluación continua: 30% de la nota final.

Para obtener una evaluación final positiva se exigirá una puntuación mínima de 3’5 sobre 10 en el examen escrito.

Se valorará la exposición voluntaria de problemas y tareas en los seminarios con un máximo de un 10% extra de puntuación.

Instrumentos de evaluación.

Entre paréntesis se indica la puntuación aportada por cada actividad (de un máximo final de 10).

Actividades a evaluar

  • Una prueba escritas parcial (3 puntos)
  • Examen final escrito (7 puntos).

Matización de la nota.

  • Podrá añadirse un máximo de 1 punto, en atención a la participación voluntaria en los seminarios.
  • En determinados casos, y previamente al examen final, podría considerarse la realización y exposición de un trabajo que haría media con la exposición oral.

Recuperación:

Quienes no hayan superado la evaluación ordinaria, dispondrán de un examen de recuperación con el mismo valor (70% de la nota final). La puntuación obtenida en la evaluación continua (todo lo que no es examen final) se mantendrá para dicha recuperación. La evaluación continua no es recuperable. El resto de consideraciones es el mismo.

Recomendaciones para la evaluación.

El trabajo personal del alumno es parte esencial para el éxito en la asimilación de la asignatura. Como puntos concretos se recomienda:

  • Asistir a las clases y seminarios.
  • En la preparación de la parte teórica, evitar la memorización irreflexiva, siendo importante analizar y comprender los conceptos, razonamientos, etc.
  • En cuanto a la preparación de problemas, ejercitarse con los problemas que aparecen en los libros de texto recomendados.
  • Analizar los errores cometidos, una vez se hayan corregido las diferentes tareas, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
  • Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía y acudiendo al profesor.

Recomendaciones para la recuperación.

  • Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.
  • Analizar los errores cometidos en el examen, acudiendo para ello a la revisión.

11. Organización docente semanal