AMPLIACIÓN DE ÁLGEBRA CONMUTATIVA

AMPLIACIÓN DE ÁLGEBRA CONMUTATIVA

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 26-09-17 17:58)
Código
100232
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Segundo Semestre
Área
ÁLGEBRA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Ana Cristina López Martín
Grupo/s
sin nombre
Departamento
Matemáticas
Área
Álgebra
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Edificio de la Merced. M2324
Horario de tutorías

Lunes, Martes y Miércoles de 12 a 14 h

URL Web
https://diarium.usal.es/anacris/
E-mail
anacris@usal.es
Teléfono
923294456

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta materia pertenece al módulo formativo “Ampliación de Álgebra” ,  el cual incluye además las materias Álgebra Conmutativa y Computacional, Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois, Geometría Algebraica y Representaciones de Grupos finitos.

Papel de la asignatura.

Su carácter es optativo vinculada a la materia de Matemáticas de la Rama de Ciencias

Perfil profesional.

Como el resto de materias del módulo, está recomendada únicamente en el itinerario académico, esto es, para personas interesadas en prepararse para un perfil profesional de docencia e investigación en Matemáticas tanto universitaria como no universitaria.

3. Recomendaciones previas

Para seguir el curso adecuadamente es necesario que el estudiante haya cursado previamente una Introducción al Álgebra Conmutativa, similar a la asignatura ``Algebra Conmutativa y Computacional" ofertada como optativa en el primer semestre del 3º de Grado en Matemáticas.

A su vez, es muy recomendable haber cursado o estar matriculado en la materia “Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois”. Para la interpretación geométrica de esta asignatura se recomienda cursar a la vez la materia “Geometría Algebraica Afín”.

4. Objetivo de la asignatura

Esta asignatura tiene tres objetivos fundamentales:

1. Completar la introducción de conceptos y técnicas algebraicas del Álgebra Conmutativa.

2. Aprender a interpretar geométricamente los conceptos algebraicos introducidos.

3. Presentar a los estudiantes un estudio detallado de las propiedades locales de las variedades algebraicas afines, completando de este modo las bases para el estudio de la Geometría Algebraica.

5. Contenidos

Teoría.

TEMA 1: Filtraciones y  Completaciones.

Topologías ádicas en anillos noetherianos. Definición de filtración y filtración estable de un módulo. Topología sobre un módulo asociada a una filtración. Completaciones ádicas: definiciones topológica y algebraica. Lema de Krull. Dilatado y graduado de un anillo por un ideal y de un módulo por una filtración. Lema de Artin-Rees. Exactitud de la completación. Platitud y fielplatitud de la completación. Noetherianidad de la completación. Teorema de la función inversa.

TEMA 2: Teoría de la dimensión.

Dimensión de Krull de un anillo: definición, caracterización de la dimensión como el supremo de las alturas de los ideales primos, teorema de Krull. Función de Hilbert y funciones de Samuel de un módulo: definiciones y demostración de que ambas son polinomios racionales. Polinomio de Samuel de un anillo local respecto de un ideal primario. Invariancia del grado con respecto al ideal primario. Variación del grado del polinomio de Samuel al hacer cociente por un elemento del anillo no divisor del cero. Sistema mínimo de parámetros de un anillo local noetheriano. Teorema de la dimensión.

TEMA 3: Anillos regulares y puntos no singulares.

Anillos locales regulares: definición de anillo local regular y caracterizaciones por el anillo graduado y por la multiplicidad. Caracterización de los anillos regulares noetherianos de dimensión 1 como dominios noetherianos localmente principales. Anillos regulares completos: teorema de Cohen.

TEMA 4: Morfismos finitos y enteros.

Dependencia entera: definiciones y propiedades básicas de los morfismos finitos y enteros. Cierre entero y anillos íntegramente cerrados. Métrica de la traza. Finitud del cierre entero de anillos íntegramente cerrado en extensiones separables. Teoremas de Normalización de Noether y de los ceros de Hilbert.

TEMA 5: Valoraciones y anillos de valoración.

Valoraciones y anillos de valoración: definiciones y propiedades. Anillos de valoración discreta. Valoraciones y cierre entero: morfismos dominantes, relación de orden en el conjunto de anillos locales noetherianos, maximalidad de los anillos de valoración. Construcción del cierre entero de un anillo íntegro en una extensión finita por los anillos de valoración. Anillos de Dedekind. Valoraciones que centran en un punto. Desingularización de una curva afín por el cierre entero.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

•Calcular los anillos completados y los anillos graduados de anillos sencillos.

• Determinar los puntos en que un morfismo entre los completados es isomorfismo utilizando el teorema de la función inversa.

•Calcular el polinomio de Hilbert de anillos graduados sencillos (cocientes de anillos de polinomios por ideales homogéneos).

•Calcular el polinomio de Samuel de anillos locales.

•Calcular dimensiones de anillos sencillos utilizando el teorema de la dimensión y sus consecuencias.

•Calcular el módulo de diferenciales relativas de un morfismo finito.

•Calcular los ceros y polos de una función algebraica.

•Determinar si una extensión finita de los números enteros es íntegramente cerrada.

Transversales.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1, CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

7. Metodologías

Esta materia se desarrollará coordinadamente con las otras materias del módulo formativo. Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas y dar paso a clases prácticas de resolución de problemas, en los que se aplicarán las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas.

A partir de esas clases teóricas y prácticas los profesores propondrán a los estudiantes la realización de trabajos personales.

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos o prácticas propuestos, para alcanzar las competencias previstas. De ello tendrán que responder, exponiendo sus trabajos ante el profesor y el resto de compañeros y comentándolos previamente en una tutoría personal entre estudiante y profesor, así como realizando exámenes de teoría y resolución de problemas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

•M. Atiyah, J. M. Macdonall, ``Introducción al álgebra Conmutativa", Ed. Reverte (1989).

• J. A. Navarro,  ``Álgebra Conmutativa Básica", Manuales de la UNEX, 19.

•M. Reid, `Undergraduate algebraic geometry”, London Mathematical Society Texts, 12. Cambridge Universitey Press, Cambrridge, 1988.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

•D. Eisenbud, ``Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry". Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, (1995).

•E. Kunz,  ``Introduction to commutative algebra and algebraic geometry". Translated from the German by Michael Ackerman. With a preface by David Mumford. Birkh\"{a}user Boston, Inc., Boston, MA, (1985).

•J. Harris, ``Algebraic Geometry", A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995.

•Material proporcionado a través del Campus on-line de la Facultad de Ciencias.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación,  conjuntamente con un examen final.

Criterios de evaluación.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Actividades

Peso en la calificación definitiva

Mínimo sobre 10 que hay que obtener para poder superar la materia

Actividades Presenciales de evaluación continua

30%

2

Actividades no presenciales de la evaluación continua

10%

2

Examen

60%

3

Instrumentos de evaluación.

Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:

Actividades No Presenciales de evaluación continua:

  • Se propondrá a cada estudiante un trabajo de carácter teórico a lo largo del cuatrimestre. Los trabajos serán entregados escritos en LateX. En la parte de corrección de cada trabajo, el profesor puede llamar a tutoría la estudiante, y la asistencia será obligatoria para que dicho trabajo sea finalmente calificado.
  • En caso en el que este estime oportuno, se realizará una exposición oral de los trabajos presentados. Dicha exposición oral servirá para matizar la nota del trabajo y para valorar otros aspectos distintos al trabajo escrito, como por ejemplo la claridad en la explicación, el modo de dirigirse al público, etc.

Actividades Presenciales de evaluación continua:

  • En el horario lectivo de la materia, se realizarán 2 pruebas esencialmente de tipo test, uno a mitad del cuatrimestre y otro al final.
  • Eventualmente, los estudiantes realizarán por escrito la resolución de dos problemas o de prácticas similares a los trabajados anteriormente en clase, que serán recogidos por el profesor.

De todas las actividades se comunicará  la nota al estudiante en el tablón del aula o por el campus virtual, facilitando una hora para la revisión (en caso de no ser llamados a tutorías).

 

Examen:

  • Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de 4 horas.

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías, especialmente aquellas referentes a la revisión de los trabajos.

 

Las actividades de la evaluación continua no presenciales deben ser entendidas en cierta medida como una autoevaluación del estudiante que le indica más su evolución en la adquisición de competencias y auto aprendizaje y, no tanto, como una nota importante en su calificación definitiva.

Recomendaciones para la recuperación.

Para las personas que suspendan la materia, su segunda calificación se obtendrá a partir de las actividades de evaluación continua desarrolladas durante el semestre y de la prueba escrita que está prevista en la programación docente después del final de las actividades docentes ordinarias. Esta segunda calificación se obtendrá de la siguiente forma:

  • Actividades Presenciales de evaluación continua, realizada a lo largo del curso:  20%
  • Actividades no presenciales de la evaluación continua realizada a lo largo del curso: 10%
  • Nota del examen de recuperación: 70%

 

Para poder obtener una segunda calificación positiva será necesario cumplir los siguientes mínimos:

•Segundo Examen: 3 sobre 10.

•Actividades no presenciales de evaluación continua: 2 sobre 10.

11. Organización docente semanal