MÉTODOS GEOMÉTRICOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES

MÉTODOS GEOMÉTRICOS EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 02-10-17 13:37)
Código
100236
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
4
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Jesús Rodríguez Lombardero
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias Químicas
Despacho
M2327 (Edificio de la Merced)
Horario de tutorías

Lunes, miércoles y jueves: 9-11 h., previa cita con el profesor

URL Web
http://mat.usal.es/~jrl/
E-mail
jrl@usal.es
Teléfono
923 294460 Ext. 1566

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Ampliación de Ecuaciones Diferenciales

Papel de la asignatura.

Optativa. Es continuación natural de la asignatura Ecuaciones Diferenciales, de segundo curso. En esta asignatura se estudian los sistemas dinámicos continuos, relacionándolos con los campos tangentes a una variedad, y la noción de estabilidad. También se estudian las distribuciones de campos tangentes y los sistemas diferenciales exteriores, así como su relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias y con las ecuaciones en derivadas parciales. Dada la relación existente entre el contenido de esta asignatura y la Mecánica, los conceptos estudiados aquí resultarán útiles a los alumnos que estudien Métodos Geométricos en Física.

Perfil profesional.

Académico

  • Docencia Universitaria e Investigación
  • Docencia no universitaria

Técnico

  • Empresas de Informática y Telecomunicaciones
  • Industria

Social

  • Administración pública
  • Empresas de Banca, Finanzas y Seguros
  • Consultorías

3. Recomendaciones previas

Haber cursado las asignaturas de los cursos anteriores, principalmente Análisis Matemático III, Análisis Matemático IV, Ecuaciones Diferenciales y Geometría Diferencial I. Es conveniente, aunque no imprescindible, haber cursado también Geometría Diferencial II y Ecuaciones en Derivadas Parciales.

4. Objetivo de la asignatura

Generales

  • Contribuir a la formación y desarrollo del razonamiento científico.
    • Proveer al alumno de capacidades de abstracción, concreción, concisión, imaginación, intuición, razonamiento, crítica, objetividad, síntesis y precisión.
    • Formular y resolver problemas utilizando el lenguaje matemático.

Específicos

  • Conocer las nociones básicas sobre sistemas dinámicos.
  • Conocer la relación entre campos tangentes y ecuaciones diferenciales.
  • Saber integrar campos tangentes.
  • Entender el comportamiento de las ecuaciones diferenciales en el entorno de un punto regular o singular, y la noción de estabilidad en los puntos de equilibrio.
  • Saber integrar sistemas diferenciales exteriores.
  • Comprender la relación entre sistemas diferenciales exteriores y ecuaciones en derivadas parciales.
  • Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas.

5. Contenidos

Teoría.

  • Procesos de evolución y sistemas dinámicos. Espacio de fases. Sistemas dinámicos continuos. Grupos de transformaciones de una variedad diferenciable. Grupos uniparamétricos de automorfismos. Generador infinitesimal. Teorema de existencia y dependencia continua respecto de las condiciones iniciales. Dependencia diferenciable de las condiciones iniciales. Reconstrucción de un grupo uniparamétrico de automorfismos a partir de su generador infinitesimal. Reducción local de un campo tangente a forma canónica.
  • Estabilidad de los sistemas dinámicos. Trayectorias y conjuntos invariantes. Puntos singulares. Clasificación geométrica y topológica. Puntos límite. Función de Lyapunov. Estabilidad en los puntos de equilibrio. Estabilidad de Lyapunov. Estabilidad asintótica.
  • Transformación de un campo tensorial por un grupo uniparamétrico de automorfismos. Derivada de Lie. Relación entre la invarianza de un campo tensorial por un grupo uniparamétrico y la derivada de Lie con su generador infinitesimal. Ecuaciones diferenciales que admiten un grupo. Teoría de Lie sobre la reducción del orden. Invarianza de una distribución de tensores finito-generada.
  • Distribuciones de tensores. Distribuciones de campos tangentes. Teorema de Frobenius para campos tangentes. Sistemas de Pfaff. Teorema de Frobenius para sistemas de Pfaff. Sistemas diferenciales exteriores. Sistema característico. Teorema de Cartan sobre la reducción de un sistema diferencial exterior a un número mínimo de variables. Interpretación geométrica del sistema característico. Teorema de Darboux sobre la clasificación local de 1-formas.
  • Espacio de elementos de contacto. El sistema de contacto. Las ecuaciones en derivadas parciales como sistemas diferenciales exteriores. Características. Cálculo de distintos tipos de soluciones usando el lenguaje de sistemas diferenciales exteriores.

6. Competencias a adquirir

Básicas / Generales.

  • CB-1: Demostrar poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a partir de la base de la educación secundaria general, a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas.
  • CB-2: Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro del área de las Matemáticas.
  • CG-1: Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
  • CG-2: Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
  • CG-5: Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Específicas.

  • CE-1: Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
  • CE-2: Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
  • CE-4: Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado.
  • CE-5: Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.
  • CE-6: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas Matemáticas

Transversales.

Instrumentales:

  • Capacidad de organizar y planificar.
  • Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
  • Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

  • Comunicación de conceptos abstractos.
  • Argumentación racional.
  • Capacidad de aprendizaje.
  • Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

  • Creatividad.
  • Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.

Planificar y dirigir.

7. Metodologías

Clases magistrales

Mediante esta fórmula se desarrollarán los contenidos teóricos, siguiendo uno o dos libros de referencia, en los que se incluyen las definiciones de los diferentes conceptos y su comprensión a partir de ejemplos, así como las propiedades formuladas como teoremas y corolarios, argumentando su demostración en los casos más notables. Se fijan así los conocimientos ligados a las competencias previstas y se da paso a clases prácticas de resolución de problemas.

Resolución de problemas

A través de clases prácticas se irán resolviendo los ejercicios y problemas planteados para aplicar y asimilar los contenidos, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos, de modo que en las clases prácticas los estudiantes se inicien en las competencias previstas.

Entrega de trabajos personales y seminarios tutelados

A partir de esas clases teóricas y prácticas se propondrá a los estudiantes la realización de trabajos personales, contando con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. En esos seminarios los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias del módulo.

Los trabajos entregados serán corregidos por el profesor y comentados posteriormente en las tutorías personales, con el fin de que puedan detectar sus posibles deficiencias, tanto de comprensión como de redacción.

Trabajo personal

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos.

Realización de exámenes

Exámenes de teoría y resolución de problemas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • V. I. Arnold. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Rubiños, Madrid, 1995.
  • L. Elsgoltz.: Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional, MIR, Moscú, 1994.
  • J. Muñoz Díaz. Ecuaciones Diferenciales I. Ediciones Universidad de Salamanca, 1982.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • D.V. Anosov, V.I. Arnold. Dynamical systems I, Springer Verlag.
  • E. Cartan. Leçons sur les invariants integraux, Hermann, París, 1921.
  • R. Faro. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales, Universidad de Extremadura.
  • V.V. Nemytskii, V.V. Stepanov. Quantitative theory of differential equations, Dover, 1989.
  • O. Stormark. Lie’s Structural Approach to PDE Systems. Cambridge University Press, 2000. 

Recursos de internet:

  • En la página web del curso, dentro del campus virtual de la Universidad de Salamanca, http://studium.usal.es, se incluirán apuntes, enunciados de problemas y enlaces a otros recursos bibliográficos, entre ellos artículos relacionados con los temas de estudio disponibles a través de internet.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. Se exigirá una nota mínima en cada grupo de actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Criterios de evaluación.

  • Prueba escrita: 40% de la nota final
  • Examen final: Habrá un examen escrito de teoría y problemas cuya calificación constituirá el 60% de la nota final.
  • Se podrá obtener hasta 1 punto sobre 10, que se sumará a la nota final, mediante la participación en los seminarios.
  • Examen de recuperación: Para aquellos alumnos que no hayan aprobado la asignatura habrá un segundo examen escrito de teoría y problemas con el que podrán mejorar la nota obtenida en el examen final.
  • La parte de la nota correspondiente a la evaluación continua (trabajos y exposiciones realizados a lo largo del curso) no será objeto de recuperación.

Instrumentos de evaluación.

Actividades a evaluar.

Evaluación continua, se valorará:

  • Pruebas presenciales.
  • Trabajo de resolución de problemas que se propondrán a lo largo del curso. El modo de evaluar este trabajo será el siguiente: Al menos la mitad de los ejercicios que han de resolver en las pruebas presenciales que forman parte de la evaluación continua serán elegidos de entre los que se han propuesto anteriormente a los alumnos.
  • Participación en clase.

Examen final.

Examen de recuperación.

Recomendaciones para la evaluación.

  • En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
  • Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente, como acudiendo a las tutorías.
  • En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
  • En cuanto a la parte práctica, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en los libros recomendados o en la colección de enunciados que se facilita a los alumnos.
  • Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía, discusiones con los compañeros o acudiendo al profesor.

Recomendaciones para la recuperación.

  • Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).
  • Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

11. Organización docente semanal