ANÁLISIS COMPLEJO II

ANÁLISIS COMPLEJO II

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 02-10-17 13:51)
Código
100237
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
4
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Pascual Cutillas Ripoll
Grupo/s
2
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced, M2330
Horario de tutorías

Lunes de 13 a 14 h., viernes de 12 a 14 h.

URL Web
-
E-mail
pcr@usal.es
Teléfono
923294457

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Ampliación de Análisis Matemático.

Papel de la asignatura.

Optativa.

Perfil profesional.

Docencia universitaria e Investigación.

3. Recomendaciones previas

Conocimiento de las asignaturas de Análisis Matemático de cursos anteriores.

 

4. Objetivo de la asignatura

Alcanzar un conocimiento razonable de:

  • Parte básica de la teoría de las variedades complejas de dimensión 1 ó superficies de Riemann.
  • Conceptos y resultados fundamentales sobre funciones armónicas en abiertos del plano complejo (o en una superficie de Riemann).
  • Problema de Dirichlet, su resolución y algunas de las más importantes consecuencias de la existencia de solución.
  • Aproximación en compactos de funciones holomorfas y existencia de funciones meromorfas en abiertos de C

5. Contenidos

Teoría.

Tema 1. Introducción a las superficies de Riemann.

Atlas holomorfos en una superficie topológica. Estructuras holomorfas. Superficies de Riemann. Ejemplos. Funciones holomorfas en una superficie de Riemann. Aplicaciones holomorfas. Abiertos coordenados en una superficie de Riemann. Generalizaciones de algunos teoremas sobre funciones holomorfas en abiertos de C. Singularidades. Funciones meromorfas. Diferenciales holomorfas y meromorfas. Teorema de los residuos. Las funciones meromorfas en una superficie de Riemann como aplicaciones holomorfas con valores en el plano complejo ampliado P1. Funciones meromorfas en P1. Determinación de los automorfismos holomorfos de P1, de C, y del disco unidad.

Tema 2. Funciones armónicas.

Funciones armónicas en abiertos de C. Relación entre funciones armónicas y funciones holomorfas. Funciones armónicas en superficies de Riemann. Fórmula de Poisson para la expresión de una función continua en un disco cerrado y armónica en el correspondiente disco abierto en función de sus valores en la frontera. Solución del problema de Dirichlet para un disco. Equivalencia para una función continua entre ser armónica y verificar la propiedad de la media. Principios del valor máximo y del valor mínimo.Convergencia de sucesiones y series de funciones armónicas; primer y segundo teoremas de Harnack. Supremo de una familia filtrante creciente de funciones armónicas.

Tema 3. Problema de Dirichlet.

Problema general de Dirichlet. Funciones superármonicas. Modificación de Poisson de una función subarmónica. Obtención de la función que resuelve el problema de Dirichlet bajo ciertas condiciones. Concepto de barrera en un punto de la frontera de un abierto en una superficie de Riemann. Una condición topológica sencilla para la existencia de una barrera. Teorema general de existencia de solución.

Tema  4. Aplicaciones de la existencia de solución para el problema de Dirichlet.

Existencia de una función armónica no constante en el complementario de un disco coordenado en una superficie de Riemann. Teorema de Radó sobre la existencia de una base numerable en una superficie de Riemann conexa.  Aplicación de la existencia de solución para el problema de Dirichlet en un abierto simplemente conexo del plano complejo a la demostración del teorema de representación conforme de Riemann.

Tema 5. Teoremas de Runge, Mittag-Leffler y Weierstrass.

Teorema de aproximación de Runge para subconjuntos compactos de un abierto de C. Existencia de ciertas sucesiones exhaustivas de compactos en un abierto de C. Teorema de aproximación de Runge para subconjuntos abiertos del plano complejo ampliado. Desplazamiento de los polos de una función meromorfa y segunda versión del Teorema de Runge para abiertos. Caso particular de los abiertos simplemente conexos en C. Teorema de Mittag-Leffler sobre la existencia de funciones meromorfas en un abierto U de C con polos y partes singulares prefijadas. Teorema de Weierstrass sobre la existencia de funciones meromorfas en U con divisor prefijado.

6. Competencias a adquirir

Básicas / Generales.

CB1, CB2, CB3, CG1

Específicas.

  • Conocimiento de las nociones básicas sobre superficies de Riemann y los ejemplos importantes.
  • Conocimiento de las caracterizaciones de los automorfismos holomorfos de P1, de C, y del disco unidad.
  • Conocimiento de la relación existente entre las funciones armónicas y las funciones holomorfas.
  • Saber manejar y demostrar las propiedades básicas de las funciones armónicas.
  • Saber que, en el caso particular de un disco, el problema de Dirichlet puede resolverse mediante la fórmula de Poisson.
  • Entender y saber demostrar que hay una condición topológica sencilla que garantiza la resolución del problema de Dirichlet, y algunas de las consecuencias importantes de la existencia de solución.
  • Algunas de las condiciones equivalentes a la posibilidad de aproximar gérmenes de funciones holomorfas en un subconjunto compacto de un abierto de C por funciones holomorfas. Conocer los principales teoremas de existencia de funciones meromorfas en abiertos de C

Transversales.

  • Saber aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.
  • Desarrollar habilidades de aprendizaje para emprender estudios posteriores.
  • Saber comunicar conocimientos, tanto por escrito como de forma oral.

7. Metodologías

Clases magistrales

Mediante esta fórmula se desarrollarán los contenidos teóricos, siguiendo uno o dos libros de referencia, en los que se incluyen las definiciones de los diferentes conceptos y su comprensión a partir de ejemplos, así como las propiedades formuladas como teoremas y corolarios, argumentando su demostración en los casos más notables. Se fijan así los conocimientos ligados a las competencias previstas y se da paso a clases prácticas de resolución de problemas.

Resolución de problemas

A través de clases prácticas se irán resolviendo los ejercicios y problemas planteados para aplicar y asimilar los contenidos, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos, de modo que en las clases prácticas los estudiantes se inicien en las competencias previstas.

Entrega de trabajos personales y seminarios tutelados

A partir de esas clases teóricas y prácticas se propondrá a los estudiantes la realización de trabajos personales, contando con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. En esos seminarios los estudiantes podrán compartir con sus compañeros y con el profesor las dudas que encuentren, obtener solución a las mismas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias del módulo.

Los trabajos entregados serán corregidos por el profesor y comentados posteriormente en las tutorías personales, con el fin de que puedan detectar sus posibles deficiencias, tanto de comprensión como de redacción.

Trabajo personal

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos.

Exposición de trabajos

Se podrán realizar exposiciones de partes de la teoría ya explicada por el profesor, o de algún enunciado cuya demostración hubiera quedado pendiente para: o bien, en casos sencillos, ser obtenida por los propios alumnos o bien ser consultada en alguno de los textos de la bibliografía. Se expondrán, además, los trabajos ante el profesor y el resto de compañeros, comentándolos luego en una tutoría personal entre estudiante y profesor.

Realización de exámenes

Exámenes de teoría y resolución de problemas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

L. Ahlfors. Análisis de variable compleja. Aguilar, 1971.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • W. Rudin. Análisis real y complejo. Alhambra, 1979.
  • J. Muñoz Díaz. Funciones de variable compleja. (apuntes) Univ. Salamanca.
  • J. Conway. Functions of One Complex Variable. Springer. 1978.
  • L. Ahlfors, L. Sario. Riemann Surfaces. Princeton Univ. Press, 1960.
  • H. Cartan. Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables complejas. Selecciones Científicas, 1968.
  • J. Muñoz Díaz. Teoría de funciones I. Tecnos, 1978.
  • A. Markhusevich. Teoría de las funciones analíticas I y II. Mir, 1978.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Se evaluará el nivel de conocimientos teóricos y prácticos adquirido. Se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Criterios de evaluación.

La evaluación final constará de una parte teórica que supondrá un 40% de la nota final, y de una parte práctica (resolución de problemas) a la que corresponderá el 60% restante. La evaluación del examen final será de hasta un 70 % de la calificación definitiva.

Los alumnos podrán superar la parte teórica de dos modos diferentes:

  1. Mediante exposiciones por escrito de una parte, a elegir por el alumno, de cada uno de los temas explicados por el profesor (o de algún enunciado cuya demostración hubiera quedado pendiente para: o bien, en casos sencillos, ser obtenida por los propios alumnos o bien ser consultada en alguno de los textos de la bibliografía indicado) podrán conseguir un máximo de 6 puntos (sobre 10). La valoración máxima de cada exposición según la complejidad de lo expuesto será de 2 puntos. Los alumnos que obtengan una suma total de 5 puntos o más no tendrán que presentarse al examen final de teoría, salvo que quieran subir nota o conseguir una calificación mayor de 6 puntos.
  2. Mediante examen por escrito consiguiendo 5 o más puntos sobre un máximo de 10, salvo que en la parte práctica del examen parcial (problemas) consigan una puntuación suficientemente alta para compensar una calificación más baja de la teoría, que nunca podrá ser inferior a 3 puntos.

La parte práctica solo podrá ser superada consiguiendo un mínimo de 5 puntos sobre 10 mediante la suma de la puntuación obtenida en el correspondiente examen y de hasta un máximo de 3 puntos correspondientes a posibles exposiciones en clase, salvo que en la parte teórica del examen se alcance una puntuación suficientemente alta para compensar una calificación más baja del examen escrito de problemas, que nunca podrá ser inferior a 2 puntos.

Instrumentos de evaluación.

  • Exposiciones teóricas
  • Exposición de problemas
  • Exámenes escritos:

                  a)- de teoría (conocimiento de conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en las clases magistrales)

                  b)- de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves).

Recomendaciones para la evaluación.

En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.

En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en las listas entregadas por el profesor y en la bibliografía.

Resolver las dudas mediante el manejo de la bibliografía y acudiendo al profesor.

Recomendaciones para la recuperación.

Analizar los errores cometidos en las exposiciones por escrito y en los exámenes (acudiendo para ello a la revisión). Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

11. Organización docente semanal