MÉTODOS GEOMÉTRICOS EN FÍSICA

MÉTODOS GEOMÉTRICOS EN FÍSICA

Grado en Matemáticas

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 21-07-17 21:38)
Código
100243
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
4
Periodicidad
Primer Semestre
Área
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor
Antonio López Almorox
Grupo/s
Todos
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
Ed. Merced M3317
Horario de tutorías

Lunes y martes de 16:00 a 17:00 horas

Miércoles, jueves y viernes de 13:00 a 14:00 horas

URL Web
http://mat.usal.es
E-mail
alm@usal.es
Teléfono
923294500, Ext. 1562

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura pertenece al módulo formativo “Ampliación de Geometría” el cual incluye además las asignaturas “Geometría Proyectiva”, “Geometría Diferencial II” y “Topología Algebraica”.

Papel de la asignatura.

Su carácter es optativo y su docencia está programada en el primer  semestre del 4º curso una vez que el estudiante haya cursado, en particular, las materias básicas del módulo  “Física”  y las del  módulo “Topología y  Geometría Diferencial” así como algunas de las  materias (básicas y optativas) de los módulos Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de variable Compleja’’ y  Ecuaciones Diferenciales y Resolución Numérica’’. Es altamente recomendable que se haya cursado la materia  Geometría Diferencial II del mismo módulo impartida en el curso anterior.   La asignatura se desarrollará coordinadamente con las otras materias del curso. El contenido de la materia no solo sirve de ampliación de las asignaturas Geometría Diferencial I y Geometría Diferencial II sino que principalmente conecta con la formulación matemática subyacente en la Mecánica y Teoría de Campos de la Física. Por su posterior aplicación  en casos prácticos reales de interés, esta materia es importante para complementar la formación de los estudiantes del grado. 

Perfil profesional.

Es una materia optativa que tiene interés en los perfiles profesionales vinculados a la Titulación de este Grado en Matemáticas: Académico, Técnico y Social.

3. Recomendaciones previas

Haber cursado las siguientes asignaturas del Grado: Álgebra Lineal I, Álgebra Lineal II, Análisis Matemático I, Análisis Matemático II, Análisis Matemático III, Física I, Física II, Álgebra, Topología, Ecuaciones Diferenciales, Geometría Diferencial I y Geometría Diferencial II.

4. Objetivo de la asignatura

Objetivo General:

Comprender los aspectos geométricos (riemannianos, variacionales y simplécticos) fundamentales subyacentes a la Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana o a casos concretos (sencillos) de las denominadas Teorías de Campos Físicos como es el campo electromagnético o el campo gravitatorio.  Dar una visión introductoria a otros métodos de Geometría Diferencial,  no tratados en lapo cursos anteriores, a través de sus aplicaciones en Física. 

Objetivo específico:

Dar una introducción a las técnicas de Geometría Diferencial Simpléctica habituales en los desarrollos modernos de la formulación Hamiltoniana de la Mecánica. Basándose en sus conocimientos de variedades diferenciables y Geometría Riemanniana adquiridos en cursos anteriores, el estudiante deberá comprender y utilizar los conceptos geométricos y otros aspectos matemáticos básicos  que aparecen en las diferentes formulaciones de la Mecánica Clásica o de otros modelos de la Física.  Mediante un breve desarrollo teórico y de adecuados y suficientes ejemplos elementales y prácticos, el estudiante  deberá saber manejar tanto el lenguaje como las técnicas propias (locales y globales) de estas teorías. Ello también le permitirá apreciar cómo los conocimientos y técnicas de Geometría que ha adquirido, le permiten saber abordar, plantear y resolver distintos problemas de estos modelos.  El énfasis de estas aplicaciones físicas permitirá desarrollar y ampliar  la formación del estudiante en Geometría Diferencial.

5. Contenidos

Teoría.

TEMA I : Estructura geométrica de los sistemas dinámicos newtonianos 

  • Fundamentos matemáticos de  la Mecánica Newtoniana: Estructura y conexión euclídea. Formulación covariante de la ley de Newton y del Principio de D’ Alambert. Energía y sistemas conservativos. Expresión geométrica de los trabajos virtuales. Sistemas con ligaduras holónomas, subvariedes riemaninanas y fórmula de Gauss. Ejemplos: partícula libre, sistemas de partículas, fuerzas conservativas y movimiento de partículas sobre subvariedades.  Planteamiento de los problemas de sistemas con ligaduras no holónomas. Formulación geométrica de los sistemas newtonianos dependientes del tiempo.

TEMA II :  Aspectos geométricos de la formulación Lagrangiana de la Mecánica

  • Estructura geométrica  del fibrado  tangente. El subfibrado vertical y el levantamiento vertical. Levantamientos canónicos al fibrado tangente. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. El fibrado cotangente. Forma de Liouville y estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente. Levantamientos canónicos al fibrado cotangente.
  • Formalismo lagrangiano de los sistemas mecánicos. Estructuras geométricas inducidas por la dinámica.  Formulación variacional de la Mecánica. Ecuaciones de Euler-Lagrange y forma de Cartan. Nociones geométricas sobre los invariantes Noether.  Ejemplos.

TEMA III : Aspectos simplécticos de la formulación Hamiltoniana de la Mecánica

  • Estructuras lineales simplécticas. Variedades simplécticas. Ejemplos: el fibrado cotangente. Campos hamiltonianos y localmente hamiltonianos. Paréntesis de Poisson. Transformaciones canónicas y simplectomorfismos. Sistemas dinámicos hamiltonianos. Ecuaciones de Hamilton. Relación con la formulación Lagrangiana. 
  • Introducción a las simetrías en Mecánica Hamiltoniana. Constantes de movimiento y leyes de conservación.  Introducción a la aplicación momentos y significado geométrico de la reducción simpléctica.

TEMA IV: Introducción al  cálculo de variaciones y su aplicación en Física.

  • Nociones elementales del cálculo de variaciones en variedades fibradas. Estudios de algunos ejemplos geométricos clásicos. Aplicación a la formulación lagrangiana de la teoría de campos sobre variedades riemannianas.

6. Competencias a adquirir

Básicas / Generales.

Todas la competencias básicas del grado: CB1, CB2, CB3, CB4  y CB5.

Específicas.

  • Comprender que la Geometría Diferencial es una buena aproximación a algunos de los problemas de la realidad, que la hacen una herramienta útil en diversas aplicaciones de las Matemáticas.
  • Aplicar los métodos de la geometría Diferencial para formular matemáticamente a la mecánica, el electromagnetismo y la gravitación.

Transversales.

Con las materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

Capacidad de análisis y síntesis.

Capacidad de modelización de problemas reales.

Resolución de problemas.

Razonamiento crítico.

Habilidades en las relaciones interpersonales.

Aprendizaje autónomo.

Motivación por la calidad.

Capacidad de organización y planificación

Trabajo en equipo.

Adaptación a nuevas situaciones.   

7. Metodologías

Se expondrá un breve contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, utilizando los libros de texto de referencia y el uso de medios informáticos, que servirán para fijar los conocimientos necesarios para desarrollar las competencias previstas.

Las clases presenciales de problemas permitirán a los estudiantes profundizar en los conceptos desarrollados Por ello un buen aprendizaje de las técnicas en las clases prácticas presenciales establecidas será un objetivo esencial de la asignatura. Para alcanzar tal fin, los estudiantes dispondrán, vía la plataforma Studium Plus o en fotocopias, de aquel material docente que se estime oportuno y en particular de los correspondientes enunciados de problemas con objeto de poder trabajar en ellos con antelación. 

Con objeto de conseguir una mayor comprensión de los conceptos y destreza en las técnicas expuestas, se propondrán diferentes problemas y/o cuestiones teóricas a los estudiantes  para cuya realización contarán con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. Estos seminarios se tratarán de clases prácticas muy participativas en las que se fomentará la discusión y donde los estudiantes podrán compartir con sus compañeros las dudas que encuentren, estudiar diferentes alternativas para obtener solución a las mismas, compararlas y comenzar a desempeñar por si mismos las competencias de la asignatura.  Durante el desarrollo de estos seminarios, el profesor responderá a las dudas que surjan y propondrán, para su consideración y debate entre los estudiantes, las diferentes propuestas que hayan aparecido en la resolución de los ejercicios propuestos. Se entregará con suficiente antelación todo el material necesario (enunciados de problemas, cuestiones teóricas, etc.) que será debatido en dichos seminarios, con objeto que los estudiantes lo hayan analizado previamente.

Cada estudiante deberá también resolver y entregar, en el plazo indicado, varias hojas de ejercicios prácticos y/o cuestiones relativas a los temas de estudio. Dicho trabajo será de carácter individual y será evaluable según las directrices que se indican más abajo.  Previo a su entrega, cada estudiante tendrá la posibilidad de consultar y discutir sus observaciones sobre cómo enfocar la resolución de estos ejercicios con el profesor de prácticas en los horarios de tutoría. Se fomentará siempre el rigor científico durante el desarrollo del trabajo. Algunos de estos trabajos  podrán ser expuestos por los estudiantes en clase ante sus compañeros.

Los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría y práctica de la asignatura con la resolución de otros problemas y con la preparación de sus trabajos, para alcanzar con éxito las competencias previstas.

Se establecerán grupos de trabajo, formados por varios estudiantes, para desarrollar también un tema teórico-práctico fomentando con ello la colaboración en equipo. Antes de su exposición y defensa del trabajo realizado, cada grupo deberá presentar al profesor un breve informe donde se comente el enfoque tomado en equipo para la elaboración del mismo (reparto de tareas, debates, etc.)  así como los resultados más importantes, la bibliografía y referencias empleadas. Se valorará el trabajo desarrollado en equipo así como el rigor y la claridad en  la exposición y defensa final del trabajo. 

Al finalizar cada parte del programa, se establecerán pruebas de evaluación y/o controles de seguimiento con las que tanto el profesorado como los propios estudiantes podrán valorar la adquisición de las competencias parciales alcanzadas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

Manuales para teoría :

  • R. Abraham y J.E. Marsden: ‘’Foundations of Mechanics’’. The Benjamín/Cummings Publishing Company. 2ª Edicición. 1978.
  • V. I. Arnold: ‘’ Mathematical Methods of Classical Mechanics’’. Graduate Texts in Mathematics 60, Springer-Verlag, 1987.
  • V. Guillemin y S. Sternberg: ‘’Symplectic Techniques in Physics’’. Cambridge University Press. 1986.
  •  J.E. Marsden y T.S. Ratiu: ‘’Introduction to Mechanics and Symmetry’’. Springer. 1996.

Manuales para problemas :

R.H. Cushman y L.M. Bates: ‘’Global Aspects of Classical Integrable Systems’’. Birkhäuser. 1997.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará fundamentalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente mediante los diferentes controles de seguimiento,  los trabajos propuestos o la participación activa en las clases  y seminarios del curso, así como con un examen  final.

Criterios de evaluación.

Pruebas de evaluación continua y controles de seguimiento  (30 %):

  • Se establecerá un calendario de pruebas de evaluación y/o controles de seguimiento escritos al finalizar grupo temático con las que se valorará la adquisición de competencias parciales alcanzadas por el estudiante. Estas pruebas de evaluación continua constituirán el 30 % de la calificación final de la asignatura.
  • Se exigirá obtener un mínimo del 20 % de esta parte evaluación para poder aprobar la asignatura en la convocatoria ordinaria.

Trabajos individuales (hojas de problemas y cuestiones teóricas)  (20 %):

  • Se valorará la correcta elaboración de los trabajos realizados (hojas de problemas), su rigor científico y claridad, así como su correcta exposición  en clase. También se valorarán otras actividades de evaluación continua de carácter no presencial que se propongan (como completar demostraciones, La valoración de este tipo de trabajo individual  será del 20 % en la calificación final de la asignatura.

Seminarios tutelados  y  exposición de un trabajo en equipo  (10 %):

  • Se valorará la participación activa en los seminarios tutelados.
  • Antes de su exposición y defensa del trabajo realizado, cada grupo deberá presentar al profesor un breve informe donde se comente el enfoque tomado en equipo para la elaboración del mismo (reparto de tareas, debates, etc,)  así como los resultados más importantes, la bibliografía y referencias empleadas. Se valorará el trabajo desarrollado en equipo así como el rigor y la claridad en  la exposición y defensa final del trabajo.
  • La valoración de este apartado será del 10 % en la calificación final de la asignatura.

Examen final (40 %):

  • Se hará una evaluación global escrita final de la asignatura  donde se valorará y comprobará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico.
  • El examen final constará de una parte teórica y otra de problemas cuyos pesos respectivos en el examen  serán del 50% y 50 %.
  • Este examen  contará un 40% de la calificación final de la asignatura  y se exigirá un mínimo del 30% de la nota, tanto en la parte teórica como en la práctica, para aprobar.

Instrumentos de evaluación.

Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:

Actividades no presenciales de evaluación continua:

  • A lo largo del curso se propondrán unas hojas de prácticas con varios ejercicios y/o cuestiones teóricas que deberá ser entregada a los profesores. El estudiante dispondrá de 10 días para su resolución y podrá resolver sus dudas consultando al profesor en horario de tutorías. El profesor podrá llamar al estudiante para cualquier aclaración sobre el trabajo realizado antes de la evaluación final del mismo.
  • Se irán proponiendo a los estudiantes ciertas actividades de carácter teórico  para ser debatidas en los seminarios posteriormente. Estas actividades serán tuteladas por el profesor y podrán ser comentadas en tutorías con los estudiantes que lo deseen para que así puedan conocer su evolución en la adquisición de competencias

Actividades presenciales de evaluación continua:

  • En el horario lectivo de la materia y al acabar cada grupo temático se realizarán controles de seguimiento escritos evaluables con problemas prácticos (similares a los trabajados por el estudiante en los seminarios tutelados y hojas de prácticas) y algunas cuestiones teóricas breves sobre los temas en cuestión.
  • Se realizará una breve exposición oral del trabajo realizado en grupo. Esta exposición servirá también para valorar la adquisición de competencias del estudiante. Se valorará la claridad y concreción de la exposición, el rigor científico, la aclaración por parte del estudiante de cualquier pregunta del profesor o de sus compañeros, etc.  
  • Examen final escrito que se realizará en la fecha establecida en la programación docente y cuya duración aproximada será de 4 horas.

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas, especialmente la revisión de los trabajos con los profesores en las tutorías.

En cierto sentido, las actividades de evaluación continua de carácter no presencial deben ser entendidas como una auto-evaluación de cada estudiante permitiéndole analizar su propia  evolución en el aprendizaje y la adquisición de competencias.

Recomendaciones para la recuperación.

Los estudiantes que no superen la evaluación continua anterior o alguno de los requisitos mínimos establecidos en los controles de seguimiento y/o en el examen  final deberán realizar un examen de recuperación de la parte teórica y/o práctica no superada en la fecha establecida en la programación docente. Este examen de recuperación será de características similar a las del examen final.

Con carácter general, la calificación en esta fase de recuperación se obtendrá mediante las calificaciones del examen de recuperación y las de la evaluación continua desarrollada que hayan sido superadas, utilizando la misma ponderación que en la calificación ordinaria. Sin embargo, detectadas las carencias de aprendizaje, esta ponderación podrá variar aumentando la ponderación del examen de recuperación en detrimento de la evaluación continua.

11. Organización docente semanal