Guías Académicas

ÁLGEBRA CONMUTATIVA Y COMPUTACIONAL

ÁLGEBRA CONMUTATIVA Y COMPUTACIONAL

Grado en Matemáticas

Curso 2021/2022

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 13-05-21 10:58)
Código
100223
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
ÁLGEBRA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor/Profesora
Ana Cristina López Martín
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Álgebra
Centro
Fac. Ciencias Químicas
Despacho
Edificio Matemáticas M2324
Horario de tutorías
L 11-13; X 11-13; J 13-14; V 10-11
URL Web
https://diarium.usal.es/anacris/
E-mail
anacris@usal.es
Teléfono
923-294457

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta materia pertenece al módulo formativo “Ampliación de Álgebra” ,  el cual incluye además las materias Ampliación de Álgebra Conmutativa, Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois, Geometría Algebraica y Representaciones de Grupos finitos.

Papel de la asignatura.

Su carácter es optativo vinculada a la materia de Matemáticas de la Rama de Ciencias

Perfil profesional.

Como el resto de materias del módulo, está recomendada únicamente en el itinerario académico, esto es, para personas interesadas en prepararse para un perfil profesional de docencia e investigación en Matemáticas tanto universitaria como no universitaria.

3. Recomendaciones previas

Los requisitos previos para seguir esta materia se obtendrían habiendo cursado una asignatura sobre Introducción a la  Topología, como la “Topología” propuesta como materia obligatoria en el primer semestre del 2º curso de la titulación de Grado en Matemáticas, y una asignatura sobre Álgebra Básica, como el “Álgebra” materia obligatoria en el primer semestre del 2º curso de la titulación de Grado en Matemáticas. Se recomienda también cursar esta asignatura simultáneamente con Geometría Proyectiva.

4. Objetivo de la asignatura

Esta asignatura tiene cuatro objetivos fundamentales:

1. Proporcionar al alumno conocimientos básicos y técnicas de uso de anillos conmutativos y módulos sobre ellos, que se utilizan en otras materias, como la Topología algebraica, la Geometría Diferencial y el Análisis. En Geometría diferencial y Análisis se consideran anillos de funciones (continuas, diferenciales, holomorfas) y módulos sobre ellas (campos, formas, tensores, secciones de fibrados) y la familiaridad de uso del Álgebra Conmutativa es un importante elemento para su comprensión, en un grado que depende de las materias y de su particular presentación al alumno.

2. Establecer las bases para el estudio de la Geometría Algebraica, de la que el  Álgebra Conmutativa es uno de los lenguajes básicos. 

 

5. Contenidos

Teoría.

TEMA 1: Teoría de módulos y k-álgebras.

Módulos. Sucesiones exactas de módulos: Lema de la Serpiente. Producto tensorial de módulos: definición de producto tensorial, propiedad universal, ejemplos, álgebras, características del producto tensorial de álgebras. Exactitud del producto tensorial: módulos planos y fielmente planos, definiciones y ejemplos. Álgebra simétrica y hemisimétrica.

TEMA 2: Localización

Anillos y módulos de fracciones: definiciones y ejemplos, morfismo de localización.

Propiedades de la localización: exactitud, platitud y preservación de las condiciones de finitud de un módulo. Propiedades locales de los módulos: anulación y exactitud. Lema de Nakayama.

TEMA 3: Teoría de la longitud y clasificación de módulos.

Teoría de la longitud. Módulos simples, serie de composición, aditividad de la longitud, longitud y dimensión. Clasificación de módulos finito-generados sobre dominios de ideales principales.

TEMA 4: Módulos noetherianos.

Módulos noetherianos y artinianos: definiciones, caracterizaciones y ejemplos. Noetherianidad de los anillos de polinomios: teorema de la base de Hilbert. Consecuencias del teorema de la base de Hilbert.

TEMA 5: Diferenciales y Derivaciones.

Derivaciones: definición, ejemplos, módulo de las derivaciones, sucesiones exactas de derivaciones, espacio tangente de Zariski. Diferenciales: definición de diferencial, módulo de diferenciales relativas a un morfismo de anillos, propiedad universal, sucesiones exactas de diferenciales.

6. Competencias a adquirir

Específicas.

  • Operar con el producto tensorial y la localización de módulos en ejemplos concretos.
  • Clasificar módulos finito generados sobre anillos de ideales principales.
  • Saber comprobar cuando un polinomio en varias variables pertenece a un ideal..
  • Calcular derivaciones y diferenciales de anillos sencillos. Calcular diferenciales relativas para morfismos sencillos de anillos.

Transversales.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1, CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

7. Metodologías

Esta materia se desarrollará coordinadamente con las otras materias del módulo formativo. Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas y dar paso a clases prácticas de resolución de problemas, en los que se aplicarán las definiciones, propiedades y teoremas expuestos en las clases teóricas. Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría y resolución de problemas propuestos para alcanzar las competencias previstas. De ello tendrán que responder realizando exámenes de teoría y resolución de problemas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

• M. Atiyah, J. M. Macdonall, ``Introducción al álgebra Conmutativa", Ed. Reverte (1989).

• C Sancho de Salas, P. Sancho de Salas, “Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica” Manuales UEX 90 (2013).

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

• M. Reid, `Undergraduate algebraic geometry”, London Mathematical Society Texts, 12. Cambridge Universitey Press, Cambrridge, 1988.

• D. Eisenbud, ``Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry". Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, (1995).

• E. Kunz,  ``Introduction to commutative algebra and algebraic geometry". Translated from the German by Michael Ackerman. With a preface by David Mumford. Birkh\"{a}user Boston, Inc., Boston, MA, (1985).

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado con pruebas intermedias y un examen final.

Criterios de evaluación.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Actividades

Peso en la calificación definitiva

 Mínimo sobre 10 que hay que obtener para poder superar la materia

Actividades Presenciales de evaluación continua

30%

2

Examen

70%

3

 

Instrumentos de evaluación.

Actividades Presenciales de evaluación continua:

  • En el horario lectivo de la materia, se realizará una prueba a mitad del cuatrimestre.

De todas las actividades se comunicará la nota al estudiante en el tablón del aula o por el campus virtual, facilitando una hora para la revisión (en caso de no ser llamados a tutorías).

Examen:

  • Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de 4 horas.

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías.

Recomendaciones para la recuperación.

Para las personas que suspendan la materia, su segunda calificación se obtendrá a partir de las actividades de evaluación continua desarrolladas durante el semestre y de la prueba escrita que está prevista en la programación docente después del final de las actividades docentes ordinarias. Esta segunda calificación se obtendrá de la siguiente forma:

  • Actividades Presenciales de evaluación continua, realizada a lo largo del curso:  30%
  • Nota del examen de recuperación: 70%

Para poder obtener una segunda calificación positiva será necesario cumplir los siguientes mínimos:

•Segundo Examen: 3 sobre 10.