Ampliación de Análisis Matemático

Formación optativa. Rama Ciencias.

• Docencia Universitaria e Investigación
• Docencia no universitaria

ESPACIOS DE BANACH

• Espacios normados. Normas y seminormas. Normas equivalentes. Subespacios de un espacio normado. Series en un espacio normado. Bases de Schauder.
• Aplicaciones lineales contínuas entre espacios normados. Caracterización. Norma de una aplicación lineal contínua. El espacio L(X,Y).
• El espacio dual. Formas lineales continuas. El espacio X'. El teorema de Hahn-Banach y sus corolarios.
• Espacios de Banach. Caracterización en términos de sus series normalmente convergentes. Completación de un espacio normado. Completitud de las aplicaciones lineales contínuas de un espacio normado en un espacio de Banach.
• Espacios de dimensión finita. Completitud, equivalencia de las normas y caracterización de los compactos. El teorema de Riesz.
• El teorema de Banach-Steinhaus. El principio de acotación uniforme. El principio de condensación de singularidades. Aplicaciones.
• El teorema de la aplicación abierta. El teorema del homeomorfismo. Aplicaciones. El teorema de la gráfica cerrada.
• La aplicación lineal traspuesta. Espacio incidente a un subconjunto. Propiedades. Relaciones de incidencia entre núcleos e imágenes.
• Espacios reflexivos. Inyección canónica en el bidual. Espacios reflexivos. Conservación de la reflexividad por isomorfismos isométricos. Reflexividad del dual.

ESPACIOS DE HILBERT

• Espacios de Hilbert. Producto interior. Espacios pre-hilbertianos. Desigualdad de Schwartz. Norma asociada a un producto interior. Ley del paralelogramo. Espacios de Hilbert.
• Ortogonalidad. Teorema de Pitágoras. Complemento ortogonal de un subconjunto. Mejor aproximación a un convexo cerrado. Descomposición de un espacio de Hilbert como suma ortogonal de cada subespacio cerrado y su ortogonal. Sistemas ortogonales y ortonormales. El proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
• Dualidad en espacios de Hilbert. El teorema de representación de Riesz. El producto interior de H'. Reflexividad de los espacios de Hilbert.
• Proyecciones ortogonales. Propiedades. Caracterización. Ecuaciones de la proyección ortogonal en un subespacio de dimensión finita.
• Operadores autoadjuntos. Operador adjunto de una aplicación lineal continua entre espacios de Hilbert. Propiedades. Relaciones de ortogonalidad entre núcleos e imágenes. Operadores autoadjuntos.
• Bases ortonormales. Desigualdad de Bessel. Bases ortonormales. Coeficientes de Fourier. Sistemas ortonormales completos. Equivalencia entre bases ortonormales, sistemas ortonormales completos y conjuntos ortonormales que satisfacen la identidad de Parseval.
• Clasificación de los espacios de Hilbert. Existencia de bases ortonormales. Dimensión hilbertiana. Clasificación de los espacios de Hilbert por su dimensión. Caracterización de los espacios de Hilbert separables.

TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES

• Operadores compactos. Compacidad de operadores de rango finito. Propiedades del espacio de los operadores compactos entre dos espacios normados. Compacidad del operador traspuesto.
• La alternativa de Fredholm. Relaciones de incidencia entre núcleos e imágenes. La alternativa de Fredholm.
• El espectro de un operador contínuo. Operadores invertibles en espacios de Banach. Valor espectral de un operador. Espectro. Valores propios. Espectros puntual y continuo. Compacidad del espectro de un operador contínuo. El espectro de un operador compacto. El espectro de un operador autoadjunto. Propiedades de los valores y vectores propios de un operador autoadjunto. Propiedades de los valores espectrales de un operador autoadjunto.
• Teorema espectral. Teorema espectral para operadores compactos y autoadjuntos. Forma canónica. Aplicaciones.

CE-5: Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.

CE-6: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas Matemáticas.

• Bachman, G.; Narici, L. Functional Analysis. Dover, 2000
• Tocino, A., Maldonado, M. Problemas resueltos de Análisis Funcional. Cervantes, Salamanca, 2003

• Brezis, H. Análisis Funcional. Alianza Universidad, 1983.
• Cascales, B.; Mira, J.M. Análisis Funcional. Universidad de Murcia, 2002.
• El Kacimi, A. Introducción al Análisis Funcional. Reverté, 1994.
• Friedman, A. Foundations of Modern Analysis, Dover, 1970.
• Friedrichs, K.O. Spectral Theory of Operator in Hilbert Space. Springer, 1973.
• Halmos, P.R. A Hilbert space problem book, Van Nostrand, 1967.
• Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Mir, 1978.
• Riesz, F.; Sz.-Nagy, B. Functional Analysis, Dover, 1990
• Taylor, A.; Lay, D. Introduction to Functional Analysis. R.E. Krieger Publishing Co., 1986.
• Young, N. An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, 1988.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

• Examen escrito: 60% de la nota final.
• Ejercicios en el aula (previa preparación) y su exposición: 30% de la nota final.
• Exposición de lecturas/trabajos: 10%

Para obtener una evaluación final positiva se exigirá una puntuación mínima de 3 sobre 10 en cada una de las partes del examen escrito (teoría y problemas).

Actividades a evaluar

• Realización periódica de ejercicios en el aula. Los ejercicios se propondrán con la antelación e indicaciones suficientes para ser resueltos antes de su realización en el aula, que se llevará a cabo sin utilizar las notas o apuntes utilizados en su preparación.
• Exposiciones orales de los ejercicios.
• Exámenes escritos:
  • de teoría (conocimiento de conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en las clases magistrales)
  • de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves)

• En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
• Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
• En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
• Ensayo previo de la exposición de los trabajos para detectar las posibles deficiencias en el la asimilación de los conceptos, así como en la forma de expresión.
• En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en los libros de texto recomendados, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

• Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos, acudiendo para ello a la revisión.
• Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.