Guías Académicas

GEOMETRÍA DIFERENCIAL II

GEOMETRÍA DIFERENCIAL II

Grado en Matemáticas

Curso 2021/2022

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 06-09-21 19:15)
Código
100224
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Área
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor/Profesora
Pablo Miguel Chacón Martín
Grupo/s
1
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Centro
Fac. Ciencias
Despacho
M3306, del edif. de la Merced
Horario de tutorías
De lunes a jueves de 13h a 14h
URL Web
http://mat.usal.es/pmchacon
E-mail
pmchacon@usal.es
Teléfono
923 29 44 59

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura está incluida en el Módulo “Ampliación de Geometría” que incluye otras 3 asignaturas optativas: Geometría Proyectiva, Métodos Geométricos en Física y Topología Algebraica.

Papel de la asignatura.

Se trata de una asignatura optativa, como todas las asignaturas planificadas para este cuatrimestre, y es la continuación natural de Geometría Diferencial I del curso anterior. Los contenidos serán necesarios, principalmente, para la asignatura Métodos Geométricos de la Física (del mismo módulo).

Perfil profesional.

Esta asignatura tiene interés para todos los perfiles profesionales de este Grado.

3. Recomendaciones previas

Se recomienda haber cursado Geometría Diferencial I, los cursos que sirven de recomendación previa de esa materia (Álgebra Lineal I y II; Análisis Matemático I, II y III; Topología y Ecuaciones Diferenciales) y también haber cursado la asignatura Geometría.

4. Objetivo de la asignatura

  • Conocer y comprender los objetos básicos de la geometría diferencial: variedades diferenciables, aplicaciones diferenciables, espacio tangente y cotangente, subvariedades, campos de vectores, etc; así como sus resultados más básicos.
  • Conocer y manejar algunos ejemplos notables de variedades y subvariedades.
  • Manejar con soltura campos tensoriales y formas diferenciables así como los operadores diferencial exterior, producto interior y derivada de Lie.
  • Conocer y manejar los operadores conexión (o derivada covariante), torsión y curvatura así como sus propiedades.
  • Conocer el transporte paralelo y las geodésicas.
  • Saber lo que es una métrica sobre una variedad y los objetos que induce: longitud de curvas, conexión de Levi-Civita, tensor de curvatura de Riemann-Christoffel, etc.

5. Contenidos

Teoría.

Tema 1. Variedades diferenciables: Atlas, estructura diferenciable. Funciones diferenciables. Aplicaciones diferenciables, difeomorfismos.

Tema 2. Espacio tangente: Espacio tangente en un punto. Vector tangente a una curva. Espacio cotangente. La diferencial en un punto de una aplicación diferenciable.

Tema 3. Subvariedades y sumersiones: Inmersiones, subvariedades y embebimientos. Subvariedades definidas por ceros de funciones. Sumersiones

Tema 4. Campos vectoriales: Campos de vectores diferenciables. El corchete de Lie. Curva integral de un campo. Flujo de un campo.

Tema 5. Cálculo diferencial en variedades: Campos de 1-formas. Campos de tensores diferenciables. El producto interior. La derivada de Lie de un tensor. La diferencial exterior. Conexión lineal. Transporte paralelo. Geodésicas. Torsión y curvatura de una conexión.

Tema 6. Variedades riemannianas: Métricas riemannianas. Longitud de una curva. Conexión de Levi-Civita. Tensor de Riemann-Christoffel. Curvatura seccional. Aplicación al estudio de subvariedades

6. Competencias a adquirir

Específicas.

  • Reconocer la estructura de variedad diferenciable. Saber cuándo un conjunto de funciones constituyen un sistema local de coordenadas. Determinar si una aplicación entre variedades diferenciables es diferenciable y establecer su expresión en coordenadas locales.
  • Construir el espacio tangente en un punto de una variedad. Conocer el concepto de vector tangente a una curva. Construir el espacio cotangente en un punto. Conocer la construcción de la aplicación tangente en un punto, y su traspuesta. Calcular la matriz jacobiana de una aplicación tangente y su uso para analizar propiedades locales de una aplicación diferenciable. Conocer si una aplicación diferenciable es un difeomorfismo local o global.
  • Saber cuándo una aplicación diferenciable concreta es una inmersión o sumersión local en un punto. Reconocer embebimientos. Determinar si los ceros de varias funciones reales constituyen una subvariedad diferenciable. Calcular el espacio tangente a una subvariedad. Conocer el teorema de estructura local de las inmersiones y sumersiones.
  • Conocer y saber construir campos vectoriales en diferentes variedades diferenciables. Saber si un campo vectorial es tangente a una subvariedad. Calcular el corchete de Lie de dos campos vectoriales. Conocer el concepto de curva integral de un campo y saber calcularla en algunos casos concretos. Reconocer el flujo de un campo. Decidir si una colección de transformaciones diferenciables constituye un grupo uniparamétrico de difeomorfismos y en tal caso calcular su generador infinitesimal.
  • Construir bases locales de los campos de tensores diferenciables. Calcular la imagen inversa de un tensor covariante en coordenadas locales. Calcular la derivada de Lie de un tensor. Manipular el álgebra exterior y calcular la diferencial exterior de una forma.
  • Identificar las conexiones lineales y saber calcular su expresión en coordenadas locales. Reconocer las ecuaciones del transporte paralelo y de las geodésicas. Saber calcular el traslado paralelo de un vector a lo largo de una curva. Determinar si una curva parametrizada es una geodésica. Calcular la torsión y curvatura de una conexión lineal.
  • Conocer el concepto de métrica riemanniana y la conexión métrica asociada. Conocer ejemplos de variedades riemannianas. Calcular la longitud de una curva. Conocer las propiedades del tensor de curvatura. Calcular las curvaturas seccionales de diferentes variedades riemannianas. Reformular los principales resultados de curvas y superficies vistos en la asignatura Geometría Diferencial I.

Transversales.

  • Identificar problemas relacionados con los conceptos asimilados.
  • Saber aplicar los conocimientos adquiridos para elaborar argumentos y estrategias de resolución.
  • Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas, incluyendo el uso de las nuevas tecnologías.
  • Conseguir capacidad de análisis, síntesis y razonamiento crítico.
  • Estimular la búsqueda de la calidad en los métodos usados y de los resultados obtenidos.
  • Estimular el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
  • Adaptación a nueva situaciones.
  • Difundir conocimientos y resultados obtenidos, tanto a un interlocutor especializado como a uno de carácter general.
  • Saber exponer en público.
  • Tener capacidad de organización y planificación.
  • Trabajar en equipo.
  • Capacidad de integración en equipos multidisciplinares

7. Metodologías

- Como instrumentos de la metodología docente se realizarán las siguientes actividades: clases de teoría, clases de problemas, seminarios tutelados, controles, trabajos, exposición de ejercicios  y tutorías.

- Las clases de teoría serán en general expositivas y en ellas se explicarán los puntos indicados en el programa. Para las clases de problemas se proporcionará una colección de ejercicios adecuados a los contenidos y nivel de exigencia del curso.

- Los seminarios tutelados consistirán en sesiones semanales en las que los estudiantes podrán consultar las dudas que les hayan podido surgir al resolver problemas de la hoja de ejercicios o sobre las clases de teoría. Estos seminarios servirán también para presentar nuevas cuestiones o problemas sobre los que se buscará para su resolución una gran participación de los estudiantes.

- A lo largo del cuatrimestre se realizarán unos controles cortos que serán anunciados con suficiente antelación. Los controles .consistirán en unas cuestiones teóricas y la resolución de algún ejercicio. La duración estimada de este tipo de pruebas es de una hora.

- Durante el cuatrimestre se propondrá a los estudiantes la realización de un trabajo personal teórico-práctico, para cuya realización tendrán el apoyo del profesor en el horario de tutorías.

- La exposición de ejercicios consiste en la presentación por parte del estudiante de la resolución de algún problema propuesto por el profesor. El estudiante dispondrá de unos días para preparar la exposición que en general se realizará en el horario de los seminarios tutelados. La participación en esta actividad  será voluntaria, aunque se incentivará la participación de todos los alumnos.

- Existirá un horario de tutorías a disposición de los alumnos donde podrán resolver individualmente sus dudas.

- A estas actividades guiadas por el profesor hay que añadir la importante labor discente del estudiante. Así pues, para la asimilación de los contenidos expuestos y para la adquisición de las competencias, destrezas y habilidades exigidas, cada estudiante deberá dedicar cierto tiempo de trabajo personal.

- Se hará uso también del campus on-line de la Universidad de Salamanca, Studium. En este campus virtual se pondrá a disposición del colectivo el material docente previsto.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • J. M. Gamboa y J. M. Ruiz, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Ed. Sanz y Torres.
  • J. M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • W. M Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press
  • M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhäuser, 1983.
  • C. M. Currás, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Publicaciones de la Universitat de Barcelona.
  • P. M. Gadea y J. Muñoz-Masqué, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers.
  • N. J. Hicks, Notas sobre geometría diferencial, editorial Hispano Europea.
  • J. M. Lee, Riemannian manifolds; an introduction to curvature, Springer, 1997.
  • P. Lucas, Variedades diferenciables y topología, ed. Diego Marín, 1999

10. Evaluación

Consideraciones generales.

Los trabajos propuestos, las exposiciones de ejercicios y los controles cortos generan una evaluación relativamente continua que además permiten detectar, tanto al profesor como al estudiante, el progreso en el aprendizaje.

A estas actividades desarrolladas durante el cuatrimestre, se le añadirá un examen final con el que se completará la evaluación de la asignatura

Criterios de evaluación.

Los pesos de las distintas actividades de evaluación en la calificación final de la primera convocatoria serán:

Controles: 25%.

Trabajos: 15%.

Examen final: 60% (mínimo de 3,5 sobre 10).

 

Si el estudiante ha realizado alguna exposición voluntaria, la calificación final se obtendrá con la siguiente ponderación: controles 20%, trabajo 10%, exposiciones 10%, examen final 60%.

El estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.

Instrumentos de evaluación.

  • Controles cortos: durante el cuatrimestre se realizará una o dos pruebas escritas en la que se pedirá la resolución de algún ejercicio así como alguna pregunta de carácter teórico.
  • Trabajos: durante el cuatrimestre se propondrá la resolución individual de unas cuestiones teóricas así como de algún ejercicio. Los trabajos tendrán una fecha límite de entrega. El estudiante podrá ser convocado para explicar los métodos utilizados y su resolución. En su caso, esta defensa del trabajo  presentado formará parte de la calificación del trabajo.
  • Exposición de ejercicios: consiste en la presentación pública por parte del estudiante de la resolución de algún problema. El alumno será evaluado tanto sobre la resolución presentada como también sobre las respuestas a las preguntas que puedan surgir tanto por parte del profesor como del colectivo presente. Esta actividad es voluntaria.
  • Examen final: constará de una parte teórica (40%) y de una parte práctica (60%) y será necesario superar el 35% de la prueba para aprobar la asignatura.

Recomendaciones para la evaluación.

Asistencia a clase y participación en las distintas actividades propuestas.

Recomendaciones para la recuperación.

Aquellos estudiantes que mediante este sistema de evaluación no superen la materia tendrán la posibilidad de ser revaluados. Se realizará un examen de recuperación en la fecha prevista en la planificación docente. Para la calificación de esta segunda convocatoria, los pesos de las distintas actividades de serán:

Controles: 20%.

Trabajos: 10%.

Examen de recuperación: 70%.

 

Si el estudiante ha realizado alguna exposición voluntaria, la calificación final se obtendrá con la siguiente ponderación: controles 10%, trabajo 10%, exposiciones 10%, examen final 70%.

El examen de recuperación mantendrá el 40% de teoría y el 60% de problemas, al igual que en el examen final de la primera convocatoria.