Guías Académicas

GEOMETRÍA DIFERENCIAL I

GEOMETRÍA DIFERENCIAL I

Grado en Matemáticas

Curso 2023/2024

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 13-06-23 13:05)
Código
100216
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OBLIGATORIA
Curso
2
Periodicidad
Segundo Semestre
Área
GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Coordinador/Coordinadora
Antonio López Almorox
Grupo/s
sin nombre
Centro
Fac. Ciencias
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Despacho
M3317 (Edificio de la Merced. Matemáticas)
Horario de tutorías
Lunes, martes, miércoles, jueves y viernes de 13:00 a 14:00.
URL Web
-
E-mail
alm@usal.es
Teléfono
677578847- 9232945008(ext. 1562)
Profesor/Profesora
Pablo Miguel Chacón Martín
Grupo/s
sin nombre
Centro
Fac. Ciencias
Departamento
Matemáticas
Área
Geometría y Topología
Despacho
M3306, del edif. de la Merced
Horario de tutorías
Martes y viernes de 13h a 14h, jueves de 12h a 14h.
URL Web
http://mat.usal.es/pmchacon
E-mail
pmchacon@usal.es
Teléfono
923 29 44 59

2. Sentido de la materia en el plan de estudios

Bloque formativo al que pertenece la materia.

Esta asignatura pertenece al módulo formativo “Topología y Geometría Diferencial” el cual incluye además la asignatura “Topología”.

Papel de la asignatura.

Su carácter es obligatorio  y su docencia está programada en el segundo semestre del 2º curso una vez que el estudiante haya cursado el primer curso,  un cálculo diferencial en varias variables  y la asignatura Topología de este mismo módulo. La asignatura se desarrollará coordinadamente con las otras materias del curso. Sus contenidos sirven de introducción para las asignaturas optativas del módulo Ampliación de Geometría (Geometría Diferencial II y Métodos Geométricos en Física).

Perfil profesional.

Al ser una materia obligatoria tiene interés en los perfiles profesionales vinculados a la Titulación de este Grado en Matemáticas: Académico, Técnico y Social.

3. Recomendaciones previas

Haber cursado las siguientes asignaturas del Grado: Álgebra Lineal I, Álgebra Lineal II, Análisis Matemático I, Análisis Matemático II, Análisis Matemático III, Álgebra, Topología. Esta asignatura usará también resultados que se ven en la asignatura Ecuaciones Diferenciales, que se imparte en el mismo cuatrimestre.

4. Objetivo de la asignatura

Objetivo General:

  • Introducción y contacto inicial con la Geometría Diferencial riemanniana de R3. En particular, usar el cálculo diferencial e integral y la Topología para el estudio de curvas y superficies del espacio euclídeo tridimensional.

Objetivo específico:

El estudiante debe aprender y utilizar los conceptos geométricos y algunos resultados básicos que aparecen en el estudio de la Geometría Diferencial del espacio euclídeo y sus subvariedades diferenciables (curvas y superficies riemannianas). Mediante un breve desarrollo teórico y de adecuados y suficientes ejemplos, el estudiante deberá saber manejar tanto el lenguaje como las técnicas, de carácter local, propias de la asignatura. El énfasis de los aspectos locales de esta materia servirá de introducción y motivación al concepto de variedad diferenciable que podrá estudiarse en la asignatura de Geometría Diferencial II del tercer curso.

5. Contenidos

Teoría.

  • Tema 1 - Curvas en el Espacio Euclídeo: curvas parametrizadas, curvas regulares, longitud de una curva, curvas en el plano y en el espacio, referencia de Frenet, curvatura y torsión, teoremas fundamentales de la teoría local, algunas propiedades globales de las curvas euclídeas.
  • Tema 2 - Superficies regulares de R3: parametrizaciones, plano tangente. Primera y segunda forma fundamental, aplicación de Gauss, endomorfismo de Weingarten. Curvaturas principales, media y de Gauss. Aceleración de una curva, curvatura geodésica y normal.
  • Tema 3 - Geometría intrínseca de las superficies: isometrías, símbolos de Christoffel, teorema egregio de Gauss, ecuaciones de Codazzi-Mainardi. derivación covariante, transporte paralelo, geodésicas en superficies, algunas propiedades globales de las superficies de R3.
  • Tema 4 – Geometría de las subvariedades de Rn: subvariedades del espacio euclídeo,  espacio tangente, campos de vectores tangentes y normales con soporte en una subvariedad, conexión inducida.

 

6. Competencias a adquirir

Específicas.

  • Reconocer la naturaleza de los puntos de una curva en R3 . Cálculo de curvatura y torsión. El alumno debe conocer los conceptos de curva regular y saber caracterizar sus propiedades diferenciables locales.
  • Reconocer la naturaleza de los puntos de una superficie de  R3.  Cálculo de la curvatura de Gauss, curvatura media y curvaturas principales. El alumno debe conocer los conceptos de superficie regular y saber caracterizar sus propiedades diferenciables locales.
  • Aplicar las integrales de línea y superficie para reconocer algunas propiedades globales de curvas y superficies.
  • Reconocer qué problemas geométricos en el espacio euclídeo pueden ser abordados con las técnicas de la Geometría Diferencial riemanniana, y debe saber plantearlos y resolverlos.
  • Comprender que la Geometría Diferencial es una buena aproximación a algunos de los problemas de la realidad, que la hacen una herramienta útil en diversas aplicaciones de las Matemáticas.

Transversales.

  • Capacidad de análisis y síntesis.
  • Resolución de problemas.
  • Razonamiento crítico.
  • Habilidades en las relaciones interpersonales.
  •  Aprendizaje autónomo.
  • Motivación por la calidad.
  •  Capacidad de organización y planificación
  • Trabajo en equipo.
  • Adaptación a nuevas situaciones.   

7. Metodologías

Se expondrá  el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales, utilizando los libros de texto de referencia y el uso de medios informáticos, que servirán para fijar los conocimientos necesarios para desarrollar las competencias previstas.

Las clases presenciales de problemas permitirán a los estudiantes profundizar en los conceptos desarrollados Para alcanzar tal fin, los estudiantes dispondrán, vía la plataforma Studium, de aquel material docente que se estime oportuno y en particular de los correspondientes enunciados de problemas con objeto de poder trabajar en ellos con antelación. 

Con objeto de conseguir una mayor comprensión de los conceptos y destreza en las técnicas expuestas, se propondrán diferentes problemas y/o cuestiones teóricas a los estudiantes para cuya realización contarán con el apoyo del profesor en seminarios tutelados. Estos seminarios se tratarán de clases prácticas muy participativas en las que se fomentará la discusión y donde los estudiantes podrán compartir con sus compañeros las dudas que encuentren, estudiar diferentes alternativas para obtener solución a las mismas, compararlas y comenzar a desempeñar por sí mismos las competencias de la asignatura.

Los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría y práctica de la asignatura con la resolución de otros problemas y con la preparación de sus trabajos, para alcanzar con éxito las competencias previstas.

A lo largo del curso, se establecerán dos pruebas de evaluación y/o controles de seguimiento presencial con las que tanto el profesorado como los propios estudiantes podrán valorar la adquisición de las competencias parciales alcanzadas.

8. Previsión de Técnicas (Estrategias) Docentes

9. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • M. Ángeles Hernández Cifre y J. Antonio Pastor González: Un curso de Geometría Diferencial. Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador. CSIC. Madrid, 2010.
  • K. Tapp: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, 2016
  • W. Kühnel: Differential Geometry. Curves-Surfaces-Manifolds. Second Edition. Student Mathematical Library. Vol. 16. American Mathematical  Society. 2006.
  • J. M. Rodríguez-Sanjurgo y J. M. Ruíz: Introducción a la Geometría Diferencial I: Curvas. Editorial Sanz y Torres. 2012.
  • J. M. Rodríguez-Sanjurgo y J. M. Ruíz: Introducción a la Geometría Diferencial II: Superficies. Editorial Sanz y Torres. 2019.
  • J. Manuel Gamboa, Antonio F. Costa  y Ana M. Porto: Notas de Geometría Diferencial de curvas y superficies: Teoría y ejercicios. Editorial Sanz y Torres. 2005. 

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

  • A. Gray, E. Abbena y S. Salamon: Modern differential geometry of curves and surfaces with mathematica (3ª edición).  Editorial Chapman and Hall/ CRC. 2006.
  • B. O’ Neill: Elementos de Geometría Diferencial. Editorial Limusa Wesley. 1972.
  • S. Montiel y A. Ros: Curvas y superficies. Proyecto Sur de Ediciones SL. 1996.
  • J. Oprea: Differential Geometry and Its Applications. Prentice Hall. 2ª edición. 2007.

10. Evaluación

Consideraciones generales.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará fundamentalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente mediante los controles de seguimiento, así como con un examen final.

Criterios de evaluación.

Para calcular la calificación final de la primera convocatoria se utilizará la siguiente ponderación:

  • Controles: 40%.
  • Examen final: 60%.

Además, se requerirá una nota mínima de 3’5 (sobre 10) en el examen final.

El estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.

Instrumentos de evaluación.

Controles: se realizarán a lo largo del cuatrimestre dos pruebas escritas con las que se valorará la adquisición de competencias alcanzadas por el estudiante. La media aritmética de estas pruebas de evaluación continua constituirán el 40 % de la calificación final de la asignatura.

Examen final: al final del cuatrimestre se realizará examen global de la asignatura donde se valorará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico. El examen constará de una parte teórica y otra de problemas cuyos pesos respectivos en el examen serán del 40% y 60%. Este examen contará un 60% de la calificación final de la asignatura, y se exigirá un mínimo del 35% de la nota para aprobar la asignatura.

Recomendaciones para la evaluación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas,.e

En cierto sentido, las actividades de evaluación continua deben ser entendidas también como una auto-evaluación de cada estudiante permitiéndole analizar su propia  evolución en el aprendizaje y la adquisición de competencias.

Recomendaciones para la recuperación.

Aquellos estudiantes que mediante este sistema de evaluación no superen la asignatura tendrán la posibilidad de ser revaluados.

 

Se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria (teoría 40% y problemas 60%).

Con carácter general, la calificación de esta convocatoria de recuperación se obtendrá mediante la ponderación del 20% de evaluación continua con el 80% del examen de recuperación. Sin embargo, detectadas las carencias de aprendizaje, esta ponderación podrá variar aumentando la ponderación del examen de recuperación en detrimento de la evaluación continua.