Esta asignatura pertenece al módulo “Ampliación de Álgebra” conjuntamente con las siguientes: Álgebra Conmutativa y Computacional, Ampliación de Álgebra Conmutativa, Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois, y Representaciones de Grupos.

Esta asignatura se encuentra en un bloque encuadrado en los cursos tercero y cuarto y en el que todas sus asignaturas son de carácter optativo. Es un bloque diseñado para la especialización en el perfil académico (primordialmente) y técnico (secundariamente). Todo él se encuentra dentro del ámbito del Álgebra. La asignatura aborda el estudio de la Geometría Algebraica.

Como el resto de materias del módulo, está recomendada únicamente en el itinerario académico, esto es, para personas interesadas en prepararse para un perfil profesional de docencia e investigación en Matemáticas tanto universitaria como no universitaria.

• Introducción a las variedades algebraicas. Espacios proyectivos. Haces coherentes sobre variedades algebraicas. Haces de línea.
• Curvas algebraicas completas. Variedades de Riemann asociadas a cuerpos de funciones. Curvas no singulares.
• Divisores sobre curvas algebraicas. Haz de línea asociado a un divisor. Series lineales. Cohomología de haces coherentes sobre curvas algebraicas.
• Teorema de Riemann Roch sobre curva algebraica. Haz canónico sobre una curva algebraica. Teorema de Riemann-Roch fuerte. Inmersiones proyectivas de las curvas algebraicas.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1 del Título.

1. Saber reconocer los haces coherentes sobre variedades proyectivas y operar con ellos.
2. Saber construir el modelo no singular de una curva completa.
3. Ser capaz de reconocer cuándo dos divisores son linealmente equivalentes.
4. Operar con la cohomología y con las series lineales asociadas.
5. Saber calcular las dimensiones de los grupos de cohomología de haces de línea sobre curvas.

CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6  del Título.

Tengamos en cuenta que se trata de una asignatura de un curso avanzado, en el que el estudiante ha de adquirir y demostrar una madurez a la hora de enfrentarse a ella. Por ello, se espera de él que, de modo autónomo, sepa manejar diversas fuentes para complementar las clases presenciales.

En cuanto a la bibliografía, cabe citar los siguientes:

1. Algebraic Curves, the Brill and Noether Way, por Eduardo Casas-Alvero, Springer, ISBN13 9783030290153

2. Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach, Publicado por la AMS, ISBN: 978-0-8218-9396-8,

3. Algebraic Geometry, Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn, Springer

4. Introduction to plane algebraic curves, Kunz E., Birkhauser 2005 - ISBN 0817643818

Otra bibliografía complementaria:

1. Hartshorne, Robin; Algebraic Geometry (Graduate Texts in Mathematics) Springer, New York 1977, ISBN-13: 978-0387902449

2. Fulton, William; Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry, W.A. Benjamin, New York 1981.

3. Iitaka, S. (1982): Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math., 76, Springer.

4. Harris, J. (1992): Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math., 133, Springer.

5. Miranda, R. (1995): Algebraic Curves and Riemann Surfaces. Grad. Studies in Math., 5, Ed. AMS.

Se utilizarán los siguientes recursos:

1. Biblioteca “Abraham Zacut” de la Universidad de Salamanca. A través de la página http://sabus.usal.es/ podrán consultar el catálogo sobre los fondos bibliográficos de la Universidad de Salamanca.

2. Se usará el Campus Virtual de la USAL: http://studium.usal.es/  para facilitar a los alumnos material didáctico, proponer trabajos, intercambiar documentación y como medio de comunicación.

3. En la página web de la Facultad de Ciencias http://www.usal.es/~ciencias/ existe información sobre la Guía Académica, Programas de Intercambio, Espacio Europeo en Educación Superior y servicios de la Facultad.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación, conjuntamente con un examen final.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Los instrumentos de evaluación para las actividades de evaluación continua serán:

• Actividades no presenciales de evaluación continua: el estudiante tendrá que presentar por escrito diversos trabajos propuestos por el profesor.
• Actividades presenciales de evaluación continua: el estudiante tendrá que contestar una serie de preguntas cortas así como resolver pequeños problemas.

Estas actividades podrán ser de carácter teórico y práctico y, en su programación y realización, se procurará no interferir con el normal desarrollo de las restantes asignaturas. El profesor podrá llamar a tutoría al estudiante así como solicitarle que exponga su trabajo en público. La calificación definitiva de estos trabajos tendrá en consideración la correspondiente tutoría o exposición.

Para completar la evaluación se realizará un examen final, en la fecha prevista por la Facultad de Ciencias, con una duración aproximada de 4 horas. Constará de una parte teórica y de una parte práctica.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas.

Las actividades de evaluación continua deben ser entendidas en gran medida como una autoevaluación del estudiante que le proporciona retroalimentación sobre su rendimiento para conseguir una progresión óptima a lo largo de todo el desarrollo de la asignatura. Por tanto, se recomienda hacer un uso responsable de estas actividades, especialmente de las no presenciales, así como complementarlo con la utilización de las tutorías

Según regulan las Normas de Permanencia de la USAL, el estudiante contará con una segunda “oportunidad de calificación”.

Esta segunda oportunidad consistirá en una prueba presencial en la que se evaluará el total de contenidos y que supondrá el 100% de la calificación. Se realizará un examen de recuperación en la fecha prevista en la planificación docente.