Guías Académicas

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Grado en Matemáticas

Curso 2024/2025

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 06-06-24 13:31)
Código
100201
Plan
ECTS
6.00
Carácter
BÁSICA
Curso
1
Periodicidad
Primer Semestre
Idioma
ESPAÑOL
Área
ANÁLISIS MATEMÁTICO
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Coordinador/Coordinadora
Mercedes Maldonado Cordero
Grupo/s
Todos
Centro
Fac. Ciencias
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Despacho
Ed. Merced, M3303
Horario de tutorías
Cita previa con la profesora
URL Web
-
E-mail
cordero@usal.es
Teléfono
677578933 (Ext. 1564)
Coordinador/Coordinadora
Álvaro Serrano Holgado
Grupo/s
Todos
Centro
Fac. Ciencias
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Despacho
Ed. Merced, M2319
Horario de tutorías
Concertar cita previa por correo electrónico
URL Web
-
E-mail
alvaro_serrano@usal.es
Teléfono
923294947

2. Recomendaciones previas

  • Manejo de las operaciones elementales con números reales, polinomios y matrices.
  • Conocimiento de las funciones elementales y sus propiedades: logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas.
  • Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

3. Objetivos

Generales

• Contribuir a la formación y desarrollo del razonamiento científico.

• Proveer al alumno de capacidades de abstracción, concreción, concisión, imaginación, intuición, razonamiento, crítica, objetividad, síntesis y precisión.

Específicos

• Conocer los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial.

• Formular y resolver problemas utilizando el lenguaje matemático.

• Aplicar los conocimientos asociados a la derivada a la resolución de problemas.

4. Competencias a adquirir | Resultados de Aprendizaje

Específicas | Habilidades.

Académicas

  • Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
  • Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del Cálculo Diferencial.
  • Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
  • Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
  • Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

  • Manejo de los números reales y complejos.
  • Manipulación de desigualdades y sucesiones.
  • Comprender y trabajar intuitiva, geométrica y formalmente con las nociones de límite y derivada.
  • Utilizar las reglas de derivación y los teoremas fundamentales.
  • Calcular y estudiar extremos de funciones.
  • Analizar y dibujar funciones, deducir propiedades de una función a partir de su gráfica.

Profesionales

  • Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.
  • Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.
  • Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.
  • Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.
  • Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Transversales | Competencias.

Instrumentales:

  • Capacidad de organizar y planificar.
  • Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
  • Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

  • Comunicación de conceptos abstractos.
  • Argumentación racional.
  • Capacidad de aprendizaje.
  • Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

  • Creatividad.
  • Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.
  • Planificar y dirigir.

5. Contenidos

Teoría.

Contenidos teóricos

Tema 1. Construcción de los números reales. Los números naturales, enteros y racionales. Sucesiones de números racionales. Completación de Q. Propiedades de R: estructura de cuerpo ordenado. Sucesiones de números reales.

Tema 2. Topología en R. Intervalos. Conjuntos abiertos y cerrados. Conjuntos compactos y conexos. Límites y funciones continuas. Límites laterales. Continuidad uniforme. Teoremas de Weierstrass, Bolzano, Darboux y Heine.

Tema 3. Derivabilidad de funciones reales de una variable real. Definición de derivada y propiedades. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L’Hôpital. Desarrollo de Taylor. Aplicaciones al estudio local de las funciones.

Tema 4. Nociones básicas de cardinalidad. Comparación de cardinales. Conjuntos numerables. No numerabilidad de R.

Práctica.

Contenidos prácticos

  1. Números reales. Principio de Inducción. Intervalos. Sumatorios. Valor absoluto. Supremo, ínfimo, máximo y mínimo. 
  2. Sucesiones de números reales. Convergencia. Indeterminaciones. Cálculo efectivo de límites: infinitésimos equivalentes y criterio de Stolz. Sucesiones recurrentes.
  3. Límites y continuidad. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos de acumulación. Cierre e interior de un conjunto. Frontera. Cálculo efectivo de límites: infinitésimos equivalentes. Estudio de la continuidad de funciones. Aplicación de los teoremas fundamentales.
  4. Cálculo diferencial. Derivada en un punto. Aplicación de las reglas de derivación para el cálculo efectivo de derivadas de funciones y de sus inversas. Aplicación de los teoremas de Rolle y del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmula de Taylor. Cálculo de límites mediante desarrollos limitados. Crecimiento y decrecimiento. Cálculo de máximos y mínimos. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Representación aproximada de funciones. Problemas de optimización mediante la aplicación de la derivada.
  5. Números complejos. Operaciones elementales: suma, producto, cociente. Forma polar. Fórmula de Moivre. Raíces. Resolución de ecuaciones.

6. Metodologías Docentes

Clases magistrales

Se desarrollarán los contenidos teóricos de la asignatura, definiendo los conceptos, aclarándolos a través de ejemplos, y demostrando rigurosamente los resultados más importantes. Algunos resultados menores se dejarán sin demostrar para que sirvan como ejercicio y faciliten el desarrollo de la competencia matemática.

Resolución de problemas

A través de clases prácticas se irán resolviendo los ejercicios y problemas planteados para aplicar y asimilar los contenidos, utilizando cuando sea conveniente medios informáticos, de modo que en las clases prácticas los estudiantes se inicien en las competencias previstas.

Entrega de trabajos. 

A partir de esas clases teóricas y prácticas los profesores propondrán a los estudiantes la realización de trabajos grupales teóricos y de trabajos individuales sobre problemas.

Seminarios tutelados

En los seminarios los estudiantes expondrán los problemas propuestos para los trabajos.

Los trabajos entregados serán corregidos por el profesor y comentados posteriormente en las tutorías personales, con el fin de que puedan detectar sus posibles deficiencias, tanto de comprensión como de redacción.

Trabajo personal

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas.

Realización de exámenes

Exámenes de teoría y resolución de problemas

7. Distribución de las Metodologías Docentes

8. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • J. Escuadra Burrieza, J. Rodríguez Lombardero y A. Tocino García, Análisis Matemático. Hespérides. 1998.
  • F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en una variable real. Ed. Thomson, 2004.

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

·       J. M. Ortega Aramburu, Análisis Matemático. Ed. Labor.

·       J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C.A. Trejo, Análisis Matemático (tomo 1). Ed. Kapelusz.

·       S. Lang, Introducción al Análisis Matemático. Addison Wesley.

·       D. G. Zill, W. S. Wright, Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas.  Ed Mc Graw Hill.

·       Programa Mathematica (Wolfram Research)

9. Evaluación

Criterios de evaluación.

Teoría

  • Evaluación continua (entrega de trabajos teóricos en grupo): 30% de la nota de teoría.
  • Examen final: 70% de la nota de teoría.

Problemas

  • Evaluación continua. 50% de la nota final de problemas.

Prueba presencial: 30%

Entrega de trabajos individuales: 10%

Defensa de los trabajos individuales en los seminarios: 10 %.

  • Examen final de problemas: 50% de la nota de problemas. Será necesario tener 4 puntos sobre 10 en el examen de problemas. En caso contrario, la nota de la evaluación continua será cero.  

La nota final de la asignatura será un 50% de la nota de teoría y un 50% de la nota de problemas.

La evaluación continua NO es recuperable. La recuperación consistirá en un examen de teoría y otro de problemas, con el mismo peso en la calificación que el indicado anteriormente.

La calificación de las personas que no se presenten al examen final será No presentado.

Sistemas de evaluación.

Actividades a evaluar

• Entrega y defensa de trabajos individuales.

• Exámenes escritos:

  • de teoría (conocimiento de los conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en clase, de los enunciados propuestos para resolver individualmente, y demostración de enunciados similares).
  • de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves).

 

Recomendaciones para la evaluación.

En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.

Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente, como acudiendo a las tutorías.

En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.

En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía y acudiendo al profesor.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Recuperación:

Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).

Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.