ANÁLISIS COMPLEJO I
Grado en Matemáticas
Curso 2024/2025
1. Datos de la asignatura
(Fecha última modificación: 09-05-24 13:17)- Código
- 100220
- Plan
- ECTS
- 6.00
- Carácter
- OPTATIVA
- Curso
- 3
- Periodicidad
- Primer Semestre
- Idioma
- ESPAÑOL
- Área
- ANÁLISIS MATEMÁTICO
- Departamento
- Matemáticas
- Plataforma Virtual
Datos del profesorado
- Profesor/Profesora
- Jesús Rodríguez Lombardero
- Grupo/s
- 1
- Centro
- Fac. Ciencias Químicas
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Análisis Matemático
- Despacho
- M2327 (Edificio de la Merced)
- Horario de tutorías
- L, X, J de 9:00 a 11:00, previa cita con los alumnos
- URL Web
- http://mat.usal.es/~jrl/
- jrl@usal.es
- Teléfono
- 923 294460 Ext. 1566
2. Recomendaciones previas
Se precisan los conocimientos de Análisis Matemático I, II, III y IV. También serán útiles Álgebra y Topología (obligatorias de 2º curso).
3. Objetivos
Formativos
- Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
- Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
- Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
- Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
- Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas. Específicos:
- Asimilar los contenidos detallados en el punto 5
4. Competencias a adquirir | Resultados de Aprendizaje
Básicas / Generales | Conocimientos.
- Afianzar la comprensión y utilización del lenguaje científico.
- Capacidad de transmitir los conocimientos.
- Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas.
- Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.
Específicas | Habilidades.
- Realizar cálculos con las funciones elementales complejas.
- Entender el concepto de función holomorfa y contrastarlo con el de función diferenciable real.
- Comprender las relaciones básicas entre la geometría y topología de curvas planas y el Análisis Complejo.
- Comprender las relaciones básicas entre el álgebra de series y el Análisis Complejo.
- Entender los resultados básicos sobre los ceros de funciones analíticas.
- Saber calcular integrales y sumas por el método de los residuos.
- Saber emplear el teorema de Rouché para contar ceros y polos.
- Manejar los principios fundamentales del Análisis Complejo y saber aplicarlos en abstracto para deducir consecuencias teóricas.
Transversales | Competencias.
- Capacidad de organizar y planificar.
- Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
- Analizar y contrastar información obtenida de distintas fuentes.
- Comunicación de conceptos abstractos.
- Argumentación racional.
- Capacidad de aprendizaje.
- Inquietud por la calidad.
- Creatividad.
- Habilidad para trabajar en equipo.
5. Contenidos
Teoría.
TEMAS
Repaso del álgebra y aritmética compleja.
Módulo, conjugado, argumento. Representación polar. Fórmula de Euler. Raíces de la unidad.
Funciones elementales complejas.
Función exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos y potencias complejas. Propiedades básicas.
Cálculo diferencial e integral complejo.
Derivadas complejas. Formas diferenciales complejas. Ecuaciones de Cauchy y Riemann. Funciones holomorfas. Caracterizaciones diferenciales de la holomorfía. Integración sobre curvas. Los teoremas de Cauchy, Goursat. Morera. Caracterizaciones integrales de la holomorfía.
Desarrollos en series de potencias.
La fórmula integral de Cauchy. Las desigualdades de Cauchy. Equivalencia entre funciones holomorfas y funciones analíticas. Series formales. Radio de convergencia. Convergencia uniforme y uniforme en compactos. Teorema de Weierstrass. Derivación e integración de series. Series de Laurent. Singularidades aisladas. Teorema de los residuos. Aplicaciones al cálculo de integrales y sumas.
Temas especiales
Ceros de las funciones analíticas. Principio de identidad. Prolongación analítica. Principio del módulo máximo. Teorema de Rouché. Ubicación de los ceros de polinomios. Funciones definidas por integrales. Funciones especiales (función gamma, función zeta).
6. Metodologías Docentes
Se expondrá el contenido teórico de los temas a través de clases presenciales y de los apuntes y textos de referencia indicados por el profesor, que servirán para fijar los conocimientos ligados a las competencias previstas. Las clases presenciales incluirán tanto la exposición de resultados teóricos abstractos como ejemplos prácticos y resolución de problemas concretos relacionados con ellos.
Se propondrá a los estudiantes la realización de trabajos personales y/o en grupo, para lo cual tendrán el apoyo del profesor en los seminarios y tutorías. Se realizarán pruebas escritas y/o orales sobre los aspectos teóricos y prácticos de las materias expuestas.
En los seminarios los estudiantes expondrán ante el profesor y el resto de la clase sus dudas acerca de los contenidos tanto teóricos como prácticos de la asignatura.
7. Distribución de las Metodologías Docentes
8. Recursos
Libros de consulta para el alumno.
Se proporcionarán resúmenes, hojas de problemas, tareas, etc. a través de la plataforma Studium de la Universidad de Salamanca
- Murray R. Spiegel, Variable Compleja (Serie Schaum).
- John Conway: Functions of One Complex Variable. Springer 1978.
- Serge Lang: Complex Analysis. Springer Verlag, 1999.
- J. Muñoz Díaz: Curso de Teoría de Funciones I. Ed. Tecnos. Madrid, 1978.
- Tristan Needham: Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1998.
Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.
En la plataforma Studium se proporcionará material diverso en formato electrónico, tal como apuntes, resúmenes de los temas, ejercicios resueltos, ejemplos y tareas a realizar.
9. Evaluación
Criterios de evaluación.
- Examen escrito: 60% de la nota final.
- Pruebas de evaluación continua: 40% de la nota final.
Sistemas de evaluación.
Actividades a evaluar
- Realización y exposición de trabajos en equipo.
- Exámenes y pruebas presenciales escritas tanto de conceptos abstractos como de resolución práctica.
Recomendaciones para la evaluación.
- En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
- Es fundamental referirse al material disponible en la plataforma digital Studium, llevando al día la asimilación de los apuntes y las tareas allí expuestas, así como estar al corriente de los anuncios, recomendaciones y reglas que se difundan a través de este medio.
- Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
- Ensayo previo de la exposición de los trabajos en un equipo, para detectar las posibles deficiencias en la asimilación de los conceptos, así como en la forma de expresión.
- En la preparación de la parte teórica, para poder resolver las cuestiones teóricas que se propondrán, es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
- En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas resueltos y tanto o más con los problemas propuestos, dedicando el tiempo y esfuerzo necesarios para su resolución.