Guías Académicas

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Grado en Matemáticas

Curso 2024/2025

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 07-06-24 10:29)
Código
100230
Plan
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Segundo Semestre
Idioma
ESPAÑOL
Área
ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Departamento
Estadística
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Profesor/Profesora
Francisco Javier Villarroel Rodríguez
Grupo/s
1
Centro
Fac. Ciencias
Departamento
Estadística
Área
Estadística e Investigación Operativa
Despacho
Edif. Ciencias, planta baja, despacho D1511
Horario de tutorías
Lunes, martes y miércoles 16:30-18:30 h.
URL Web
-
E-mail
javier@usal.es
Teléfono
923 29 45 00 ext: 4458

2. Recomendaciones previas

  • Cálculo de probabilidades.
  • Análisis Matemático.
  • Ecuaciones diferenciales.

3. Objetivos

  • Capacidad de análisis, razonamiento lógico y síntesis matemática. Capacidad operativa y de cálculo. Creatividad e iniciativa personal.
  • Capacidad de organización y estructuración.
  • Capacidad de planteamiento de problemas y codificación en términos de modelos matemáticos.

Específicos

  • Desarrollo de intuición probabilística y modelado de fenómenos estocásticos reales.
  • Comprensión y manejo operativo de técnicas de cálculo estocástico Itô.
  • Comprensión profunda de la naturaleza estocástica inherente a los mercados

4. Competencias a adquirir | Resultados de Aprendizaje

Específicas | Habilidades.

  • Manejar los procesos estocásticos y su interés para la modelización de fenómenos reales. Conocer los principales procesos y sus implicaciones en mercados financieros.
  • Capacidad de planteamiento de problemas de finanza estocástica y su codificación en términos de modelos matemáticos.
  • Conocer el cálculo de Ito y las ecuaciones diferenciales estocásticas.
  • Familiarizar al alumno con la naturaleza estocástica inherente a los mercados financieros y leyes estocásticas que los rigen. Conocer técnicas estocásticas valoración de derivados.
  • Entender la dinámica subyacente a modelos de tipo de interés.

Transversales | Competencias.

  • Capacidad de análisis, razonamiento lógico y síntesis
  • Capacidad de organización y estructuración
  • Creatividad
  • Iniciativa personal

5. Contenidos

Teoría.

1. Esperanza condicionada. El caso continuo. Densidades de transición. Martingalas en tiempos discreto y continuo. Probabilidad y esperanza condicionadas por sigma álgebras.Filtraciones.

2. Procesos Estocásticos. Definición y significado. Evolución aleatoria. Tipos. Información Generada, y sigma- algebra del pasado. Procesos de Markov. Procesos adaptados.Continuidad de trayectorias. Movimiento Browniano.

3. El cálculo de Itô .

Procesos adaptados y L2. Independencia de pasado y futuro dado el presente. Integral

de Itô : funciones simples. Isometría de Itô. Diferencial estocástica. Regla de Itô.

Cálculo estocástico en Rn.

4. Ecuaciones diferenciales estocásticas de Itô.

Definición. Ecuación Lineal y Procesos Gaussianos. Transformación de una Diferencial

estocástica con la Regla de Itô. Solución de la ecuación Lineal. Ecuación de

Kolmogorov-Feller para esperanzas condicionales. Comportamiento asintótico de procesos estocásticos. Distribución estacionaria. Fronteras del proceso.

5. Ecuaciones diferenciales estocásticas en Biología y Finanza.

(a) Movimiento Browniano geométrico y proceso de precios.

(b) Modelos de tipos de interés: Ecuación de Hull-White y Ornstein-Uhlenbeck.

(c) Dinámica logística y modelos de poblaciones.

(d) Modelos epidemiológicos.

6. Finanza estocástica: cálculo de Itô

Procesos de precios y retornos. Derivados financieros y procesos adaptados. Opciones

europeas, americanas y asiáticas. Modelo paradigmático de Samuelson-Black-

Scholes-Merton. Principio de no arbitraje. Carteras autofinanciadas y replicantes.

Teorema fundamental de la Finanza estocástica y la Ec. de Black-Scholes.

7. Finanza estocástica: Probabilidad riesgo-neutral o martingala

Teorema de Girsanov y cambios de medida en espacios de probabilidad. La Probabilidad riesgo-neutral. El proceso de precios

 

6. Metodologías Docentes

  • Fundamentalmente clase magistral y  metodología basada en problemas y estudios de casos.
  • Planteamiento de problemas para trabajar el alumno individualmente y en grupo.
  • Ocasionalmente realizar simulaciones por ordenador y asistir a “laboratorio de probabilidad” para mejor ejemplificar ideas teóricas.

7. Distribución de las Metodologías Docentes

8. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

1) Elementary stochastic processes, T. Mikosch, World Scientific, Singapore,1998

2) U.F. Wiersema, Brownian Motion Calculus, John Wiley & Sons Ltd, 2008

Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.

3) I. Karatzas,  S. Shreve "Methods of    Mathematical Finance".  New-York, Springer(1998).

4) M Baxter, A Rennie, Financial Calculus, an introduction to derivative pricing, Cambridge Univ. Press 1996

9. Evaluación

Criterios de evaluación.

Se valorará la calidad de la exposición, claridad de ideas y razonamientos y nitidez de la lógica argumental. Resultados correctos pero escasamente justificados o con deficiencias argumentales no se valorarán con la máxima nota.
60% examen asignatura.   40%   evaluación continua.

Sistemas de evaluación.

Exámenes escritos de teoría y problemas.

Trabajos individuales y en equipo.

Exposición de trabajos.

Participación en clase.

Recomendaciones para la evaluación.

Además del conocimiento académico clásico se valorará (1) la iniciativa y capacidad de innovación,  (2) el trabajo continuado y esfuerzo desplegado, (3) participación e interés. Asistencia a clase es recomendable.

Recuperación: La nota de evaluación continua se conservará para la  2º convocatoria, de modo que  se calificará de la misma forma y con idéntico porcentaje las notas de evaluación continua y de examen.

10. Organización docente semanal