CB1, CB2, CB3, CG1

• Conocimiento de las funciones especiales trascendentes de una variable compleja.
• Conocimiento de las caracterizaciones de los automorfismos holomorfos de P1, de C, y del disco unidad.
• Conocimiento de la relación existente entre las funciones armónicas y las funciones holomorfas.
• Conocimiento de los métodos de construcción de funciones meromorfas con ceros y polos dados.

• Saber aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.
• Desarrollar habilidades de aprendizaje para emprender estudios posteriores.
• Saber comunicar conocimientos, tanto por escrito como de forma oral.

Tema 1. Aproximación de funciones meromorfas.

Teoremas de Runge, Mergelyan, Mittag-Leffler, Weierstrass. Teorema de factorización de Hadamard. Orden de crecimiento de una función entera. Distribución de ceros.

Tema 2. Funciones especiales.

Aplicación de los teoremas de aproximación al estudio de funciones especiales como la función gamma, zeta de Riemann. Funciones elípticas. Función modular. Desarrollos en productos infinitos y propiedades básicas. Aplicaciones. Teoremas de Picard.

Tema 3. Introducción a las superficies de Riemann.

Estructuras holomorfas. Superficies de Riemann. Ejemplos. Anillo de funciones holomorfas. Generalizaciones de teoremas de C a superficies de Riemmann. Cuerpo de funciones meromorfas. Teorema de los residuos. Automorfismos de la esfera, el plano y el disco unidad.

Tema 4. Funciones armónicas y el problema de Dirichlet.

Relación entre funciones armónicas y funciones holomorfas. Funciones armónicas en superficies de Riemann. Núcleo de Poisson. Solución del problema de Dirichlet en un disco. Propiedades de la media, del módulo máximo. Desigualdad de Harnack.

W. Rudin, Análisis real y complejo. Alhambra 1979.

• K. Chandrasekharan,  Elliptic Functions. Springer 1985.
• J. Conway, Functions of One Complex Variable. Springer 1978.
• H. M. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces. Springer 1992.
• O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces. Springer 1981.
• P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Wiley 1974.
• J. Muñoz Díaz, Teoría de funciones I. Tecnos 1978.

• Evaluación continua: 35% de la nota final.
• Examen final: Habrá un examen escrito con problemas prácticos y teóricos cuya calificación constituirá el 65% de la nota final.
• Examen de recuperación: Para aquellos alumnos que no hayan aprobado la asignatura habrá un segundo examen escrito de teoría y problemas con el que podrá intentar mejorar la nota obtenida en el examen final.

La parte de la nota correspondiente a la evaluación continua (trabajos y exposiciones realizados a lo largo del curso) no será objeto de recuperación

• Trabajos en grupo o individuales.
• Exposición oral de trabajos.
• Examen parcial.
• Examen final.
• Examen de recuperación.

En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática. En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en las listas entregadas por el profesor y en la bibliografía. Resolver las dudas mediante el manejo de la bibliografía y acudiendo al profesor.

Se evaluará el nivel de conocimientos teóricos y prácticos adquirido. Se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Recuperación:

Analizar los errores cometidos en las exposiciones por escrito y en los exámenes (acudiendo para ello a la revisión). Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.