Académicas

• Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del cálculo integral en varias variables.
• Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
• Aprender de manera autónoma

Disciplinares

• Aplicar el teorema de Fubini al cálculo de integrales múltiples.
• Calcular integrales dobles y triples en distintos sistemas de coordenadas.
• Calcular integrales de línea y superficie.
• Resolver problemas geométricos y físicos mediante integrales múltiples, de línea y de superficie.
• Calcular integrales definidas usando el teorema de los residuos.

Profesionales

• Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.
• Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.
• Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.
• Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.
• Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Instrumentales:

• Capacidad de organizar y planificar.
• Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
• Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

• Comunicación de conceptos abstractos.
• Argumentación racional.
• Capacidad de aprendizaje.
• Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

• Creatividad.
• Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.
• Planificar y dirigir.

TEMA 1. Integral de Riemann en rectángulos de Rⁿ.

La integral de Riemann en rectángulos de Rⁿ. Criterios de integrabilidad. Propiedades de la integral. El teorema de Fubini.

TEMA 2. Integración en subconjuntos medibles Jordan

Integración en conjuntos medibles Jordan. Aplicación del teorema de Fubini al cálculo de integrales en conjuntos medibles Jordan. Teorema de cambio de variables.

TEMA 3. Integración en subvariedades de Rⁿ.

Subvariedades cerradas de Rⁿ. Introducción al cálculo diferencial en variedades. Integración de formas en variedades. Teorema de Stokes.

TEMA 4. Introducción a la teoría de funciones de variable compleja

El cuerpo de los números complejos. Funciones analíticas de variable compleja. Funciones holomorfas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Fórmula integral de Cauchy. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema fundamental del Álgebra. Principio del módulo máximo. Desarrollos de Laurent. Clasificación de singularidades aisladas. Funciones meromorfas. Residuo de una 1-forma compleja en una singularidad aislada. Teorema de los residuos. Aplicación al cálculo de integrales definidas.

Teoría:

• D. G. Zill, W. S. Wright, Cálculo de varias variables. Ed Mc Graw Hill.
• Gamboa, J.M., Ruiz, J.M., Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Ed. Sanz y Torres, 1999.
• G. O. Jameson, A first Course on Complex Functions. Chapman and Hall. 1970

Problemas:

• F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables. Ed. Thomson.
• J. A. Fernández Viña, E. Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Ed. Tecnos.

Teoría:

• Salas-Hille, Calculus I y II. Ed. Reverté
• T. M. Apóstol, Análisis Matemático. Ed. Reverté
• J. de Burgos, Cálculo Infinitesimal de Varias Variables. McGraw-Hill, 2008.
• H. Cartan, Teoría elemental de las funciones analíticas de una y varias variables complejas. Selecciones Científicas, 1968.
• F. del Castillo, Análisis Matemático II. Ed. Alambra.
• L. M. Navas, Curso de Análisis Matemático II. Ed. LC.

Problemas:

• M. Besada, F.J. García, M. A. Mirás, C. Vázquez, Cálculo de varias variables. Cuestiones y ejercicios resueltos. Ed. Prentice Hall.
• G. L. Bradley, K. J. Smith, Cálculo de varias variables.  Ed Prentice Hall.
• A. García y otros, Cálculo II: teoría y problemas de funciones de varias variables. Ed. Clagsa.
• J. E. Marsden, A. J. Tromba, Cálculo Vectorial. Addison-Wesley, 1998.
• L. M. Navas, Análisis Matemático II. Problemas y Soluciones. Ed. LC.
• C. A. Trejo, Funciones de variable compleja, colección Harper, Harper & Row Latinoamericana.
• L. I. Volkovyski, G. L. Lunts, I. G. Aramanovich, Problemas sobre la teoría de funciones de variable compleja. Mir, 1984.
• A. D. Wursch, Variable compleja con aplicaciones. Addison Wesley.

Recursos de internet:

• En la página web del curso, a la que se accede desde la página http://www.studium.usal.es, están disponibles los enunciados de los problemas, las hojas con las que se trabajará en los seminarios, enlaces a otros recursos en Internet y cualquier otra información que se considere útil. Asimismo es un cauce de comunicación entre profesores y alumnos.
• En http://www.matematicas.net hay enlaces a cursos, problemas, apuntes, etc.

• Examen final: 70% de la nota final; teoría (40%) y problemas (60%)
• Prueba parcial: 20% de la nota final. Sólo problemas.
• Exposiciones en los seminarios: 10% de la nota final.

Será necesario tener 3.5 puntos sobre 10 en cada parte del examen final para que se tenga en cuenta la evaluación continua.

Las dos convocatorias tendrán las mismas condiciones.

Actividades a evaluar

• Comprensión de la teoría y los problemas a través de pruebas presenciales.
• Exámenes escritos de teoría y problemas

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. Se exigirá una nota mínima en cada grupo de actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades. En el caso de los exámenes escritos, este mínimo será de 3.5 puntos sobre 10, tanto en teoría como en problemas.

• En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
• En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
• En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.
• Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía, discusiones con los compañeros y acudiendo al profesor

Recuperación:

• Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).
• Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.