• Reconocer la estructura de variedad diferenciable. Saber cuándo un conjunto de funciones constituyen un sistema local de coordenadas. Determinar si una aplicación entre variedades diferenciables es diferenciable y establecer su expresión en coordenadas locales.
• Construir el espacio tangente en un punto de una variedad. Conocer el concepto de vector tangente a una curva. Construir el espacio cotangente en un punto. Conocer la construcción de la aplicación tangente en un punto, y su traspuesta. Calcular la matriz jacobiana de una aplicación tangente y su uso para analizar propiedades locales de una aplicación diferenciable. Conocer si una aplicación diferenciable es un difeomorfismo local o global.
• Saber cuándo una aplicación diferenciable concreta es una inmersión o sumersión local en un punto. Reconocer embebimientos. Determinar si los ceros de varias funciones reales constituyen una subvariedad diferenciable. Calcular el espacio tangente a una subvariedad. Conocer el teorema de estructura local de las inmersiones y sumersiones.
• Conocer y saber construir campos vectoriales en diferentes variedades diferenciables. Saber si un campo vectorial es tangente a una subvariedad. Calcular el corchete de Lie de dos campos vectoriales. Conocer el concepto de curva integral de un campo vectorial y saber calcularla en algunos casos concretos. Reconocer el flujo de un campo vectorial. Decidir si una colección de transformaciones diferenciables constituye un grupo uniparamétrico de difeomorfismos y, en tal caso, calcular su generador infinitesimal.
• Construir bases locales de los campos de tensores diferenciables. Calcular la imagen inversa de un tensor covariante en coordenadas locales. Calcular la derivada de Lie de un tensor. Manipular el álgebra exterior y calcular la diferencial exterior de una forma diferenciable.
• Identificar las conexiones lineales y saber calcular su expresión en coordenadas locales. Reconocer las ecuaciones del transporte paralelo y de las geodésicas. Saber calcular el traslado paralelo de un vector a lo largo de una curva parametrizada. Determinar si una curva parametrizada es una geodésica. Calcular la torsión y curvatura de una conexión lineal.
• Conocer el concepto de métrica riemanniana y la conexión métrica asociada. Conocer ejemplos de variedades riemannianas. Calcular la longitud de una curva. Conocer las propiedades del tensor de curvatura. Calcular las curvaturas seccionales de diferentes variedades riemannianas. Reformular los principales resultados de curvas y superficies vistos en la asignatura Geometría Diferencial I.

• Identificar problemas relacionados con los conceptos asimilados.
• Saber aplicar los conocimientos adquiridos para elaborar argumentos y estrategias de resolución.
• Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas, incluyendo el uso de las nuevas tecnologías.
• Conseguir capacidad de análisis, síntesis y razonamiento crítico.
• Estimular la búsqueda de la calidad en los métodos usados y de los resultados obtenidos.
• Estimular el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.
• Adaptación a nueva situaciones.
• Difundir conocimientos y resultados obtenidos, tanto a un interlocutor especializado como a uno de carácter general.
• Saber exponer en público.
• Tener capacidad de organización y planificación.
• Trabajar en equipo.
• Capacidad de integración en equipos multidisciplinares

Tema 1. Variedades diferenciables: Atlas, estructura diferenciable. Funciones diferenciables. Aplicaciones diferenciables, difeomorfismos.

Tema 2. Espacio tangente: Espacio tangente en un punto. Vector tangente a una curva. Espacio cotangente. La diferencial en un punto de una aplicación diferenciable.

Tema 3. Subvariedades y sumersiones: Inmersiones, subvariedades y embebimientos. Subvariedades definidas por ceros de funciones. Sumersiones

Tema 4. Campos vectoriales: Campos de vectores diferenciables. El corchete de Lie. Curva integral de un campo. Flujo de un campo.

Tema 5. Cálculo diferencial en variedades: Campos de 1-formas. Campos de tensores diferenciables. El producto interior. La derivada de Lie de un tensor. La diferencial exterior. Conexión lineal. Transporte paralelo. Geodésicas. Torsión y curvatura de una conexión.

Tema 6. Variedades riemannianas: Métricas riemannianas. Longitud de una curva. Conexión de Levi-Civita. Símbolos de Christoffel. Tensor de Riemann-Christoffel. Curvatura seccional. Aplicación al estudio de subvariedades riemannianas

• J. M. Gamboa y J. M. Ruiz, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Ed. Sanz y Torres, 2006.
• J. M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer Verlag, 2013.

• M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhäuser, 1983.
• C. M. Currás, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Publicaciones de la Universitat de Barcelona, 2003.
• P. M. Gadea y J. Muñoz-Masqué, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers, 2001.
• N. J. Hicks, Notas sobre geometría diferencial, editorial Hispano Europea, 1974.
• J. M. Lee, Riemannian manifolds; an introduction to curvature, Springer, 1997.
• P. Lucas, Variedades diferenciables y topología, ed. Diego Marín, 1999.
• J. Sáenz e Y. Nogier, Variedades Diferenciables , ed. Hipotenusa, 2017.
• F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, 1983.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará en el trabajo continuado del estudiante, en las pruebas de evaluación continua (controles), y en un examen final.

Primera convocatoria. Los pesos de las distintas actividades de evaluación en la calificación final de la primera convocatoria serán:

• Controles: 40%.
• Examen final: 60%.

Además, se requerirá un mínimo del 35% en cada parte (teoría y problemas) del examen final. En caso de no superar este mínimo, la calificación final que figurará en actas será la que haya obtenido en la parte del examen final que no ha superado.

1. estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.

1. convocatoria. Aquellos estudiantes que mediante este sistema de evaluación no superen la asignatura tendrán la posibilidad de ser reevaluados. Se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria.
2. la calificación de esta segunda convocatoria, los pesos de las distintas actividades de serán:

1. 20%.
2. de recuperación: 80%.

El estudiante que no se presente al examen de recuperación se considerará “no presentado”

Controles: durante el cuatrimestre se realizarán dos pruebas escritas en la que se pedirá la resolución de algún ejercicio así como alguna pregunta de carácter teórico. La media aritmética de estas pruebas de evaluación continua constituirá el 40% de la calificación final de la asignatura en la primera convocatoria y el 20% en la segunda.

Examen final: al final del cuatrimestre se realizará un examen global de la asignatura donde se valorará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico. Esta prueba constará de una parte teórica y otra de problemas cuyos pesos respectivos en el examen serán del 40% y 60%.

Examen de recuperación: se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria (teoría 40% y problemas 60%).

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas.

En cierto sentido, las actividades de evaluación continua deben ser entendidas también como una auto-evaluación de cada estudiante permitiéndole analizar su propia evolución en el aprendizaje y la adquisición de competencias.