ANÁLISIS COMPLEJO II
Grado en Matemáticas
Curso 2026/2027
1. Datos de la asignatura
(Fecha última modificación: 05-06-26 9:28)- Código
- 100237
- Plan
- ECTS
- 6.00
- Carácter
- OPTATIVA
- Curso
- 4
- Periodicidad
- Primer Semestre
- Idioma
- ESPAÑOL
- Área
- ANÁLISIS MATEMÁTICO
- Departamento
- Matemáticas
- Plataforma Virtual
Datos del profesorado
- Coordinador/Coordinadora
- Luis Manuel Navas Vicente
- Grupo/s
- 2
- Centro
- Fac. Ciencias
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Análisis Matemático
- Despacho
- M2330 (Edificio de La Merced)
- Horario de tutorías
- Lunes a viernes de 13:15-14:30, preferible cita previa.
- URL Web
- https://produccioncientifica.usal.es/investigadores/56629/publicaciones
- navas@usal.es
- Teléfono
- 923294946
2. Recomendaciones previas
Conocimiento de las asignaturas de Análisis Matemático I–IV. Es indispensable el Análisis Complejo I. Es altamente recomendable haber cursado las asignaturas de Análisis Funcional y Análisis Armónico. Para ciertos aspectos es también útil tener conocimientos de Álgebra Conmutativa, Geometría Algebraica y Teoría de Galois.
3. Objetivos
- Técnicas de aproximación de funciones holomorfas y sus desarrollos en series de varios tipos más allá de las series de potencia, como son sus representacions por integrales paramétricas y productos infinitos.
- Funciones especiales como la función gamma, la función zeta de Riemann, las funciones theta, funciones automorfas y formas modulares.
- La teoría de las funciones elípticas y su relación con la geometría y la aritmética.
- Aspectos básicos de la teoría de superficies de Riemann.
4. Competencias a adquirir | Resultados de Aprendizaje
Básicas / Generales | Conocimientos.
CB1, CB2, CB3, CG1
Específicas | Habilidades.
- Manejo de los desarrollos en productos infinitos.
- Manejo de las técnicas de aproximación por funciones racionales.
- Conocimiento de las propiedades básicas de las funciones zeta.
- Conocimiento de la teoría básica de las funciones elípticas.
- Conocimiento de algunos aspectos básicos de las formas modulares.
Transversales | Competencias.
- Saber aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.
- Desarrollar habilidades de aprendizaje para emprender estudios posteriores.
- Saber comunicar conocimientos, tanto por escrito como de forma oral.
5. Contenidos
Teoría.
Productos infinitos.
Convergencia y divergencia de productos infinitos numéricos. Propiedades básicas de los productos infinitos numéricos. Convergencia de productos infinitos de funciones analíticas. Teorema de factorización de Weierstrass. Orden de crecimiento de una función entera. Teorema de factorización de Hadamard.
Series de funciones racionales.
Aproximación de funciones analíticas por funciones racionales. Teoremas de Runge y Mittag-Leffler.
Funciones especiales
Función gamma. Propiedades básicas, representaciones equivalentes. Función zeta de Riemann. Productos de Euler. Representaciones integrales, prolongación analítica, ecuación funcional. Localización de ceros. Relación con la distribución de los números primos. Función zeta de Hurwitz. Trascendente de Lerch.
Funciones elípticas
Definición de función doblemente periódica. Álgebra de Retículos. Teoremas de Liouville para las funciones elípticas. Función p de Weierstrass. Construcción de funciones elípticas con divisores dados.
Introducción a las formas modulares
Funciones automorfas. Formas modulares. Desarrollos en productos infinitos. Aplicaciones. Función modular lambda. Teoremas de Picard.
Introducción a las superficies de Riemann.
Estructuras holomorfas. Superficies de Riemann. Ejemplos. Anillo de funciones holomorfas. Generalizaciones de teoremas de C a superficies de Riemmann. Cuerpo de funciones meromorfas. Teorema de los residuos. Automorfismos de la esfera, el plano y el disco unidad.
6. Metodologías Docentes
Como es habitual en materias teóricas, la docencia se basa en clases magistrales siguiendo los apuntes del profesor y apoyándose en libros de referencia.
En las clases prácticas se plantean y resuelven problemas tanto teóricos como prácticos, incluyendo estos últimos fórmulas o desarrollos de funciones especiales.
Se plantearán asimismo trabajos consistentes en resolver, de forma individual o en grupo, una serie de problemas planteados o, como alternativa, desarrollar profundizando en él, algún aspecto de la teoría vista o un tema nuevo derivado de ella.
Los seminarios servirán de apoyo a estos trabajos, donde los estudiantes pueden comentar y exponer sus dudas e intentos de resolución de los problemas. Las tutorías personales servirán de apoyo al desarrollo de los trabajos.
Los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos.
El examen final servirá para evaluar los conocimientos adquiridos planteando cuestiones teóricas y prácticas similares a las propuestas en los trabajos
7. Distribución de las Metodologías Docentes
Previsión de distribución de las metodologías docentes (Fecha: 05-06-26)8. Recursos
Libros de consulta para el alumno.
W. Rudin, Análisis real y complejo. Alhambra 1979.
Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.
- K. Chandrasekharan, Elliptic Functions. Springer 1985.
- J. Conway, Functions of One Complex Variable. Springer 1978.
- H. M. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces. Springer 1992.
- O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces. Springer 1981.
- P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Wiley 1974.
- J. Muñoz Díaz, Teoría de funciones I. Tecnos 1978.
9. Evaluación
Criterios de evaluación.
- Evaluación continua: 35% de la nota final. Consistirá en el desarrollo y exposición oral de un tema elegido bien para profundizar en la materia o para estudiar un tema distinto a los vistos en clase.
- Examen final: Habrá un examen escrito cuya calificación constituirá el 65% de la nota final. Por mutuo acuerdo entre el profesor y los estudiantes, el examen final puede sustituirse por un trabajo del mismo tipo que el de la evaluación continua pero proporcionalmente más extenso, y una exposición oral del mismo.
- Examen de recuperación: Para aquellos alumnos que no hayan aprobado la asignatura habrá un examen escrito con el que podrá intentar mejorar la nota obtenida en el examen final.
La parte de la nota correspondiente a la evaluación continua (trabajos y exposiciones realizados a lo largo del curso) no será objeto de recuperación
Sistemas de evaluación.
- Trabajos en grupo o individuales.
- Exposición oral de trabajos.
- Examen parcial.
- Examen final.
- Examen de recuperación.
Recomendaciones para la evaluación.
Se evaluará el nivel de conocimientos teóricos y prácticos adquirido. Se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.
En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática. En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en las listas entregadas por el profesor y en la bibliografía. Resolver las dudas mediante el manejo de la bibliografía y acudiendo al profesor.
Recuperación:
Analizar los errores cometidos en las exposiciones por escrito y en los exámenes (acudiendo para ello a la revisión). Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.