TOPOLOGÍA
GRADO EN MATEMÁTICAS
Curso 2026/2027
1. Datos de la asignatura
(Fecha última modificación: 08-06-26 18:21)- Código
- 142214
- Plan
- 2026
- ECTS
- 6.00
- Carácter
- OBLIGATORIA
- Curso
- 2
- Periodicidad
- Primer Semestre
- Idioma
- ESPAÑOL
- Área
- GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
- Departamento
- Matemáticas
- Plataforma Virtual
Datos del profesorado
- Coordinador/a
- Esteban Gómez González
- Grupo/s
- Todos
- Centro
- Fac. Ciencias
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Despacho
- Planta baja del Edificio de La Merced, M-1322
- Horario de tutorías
- Lunes, martes, miércoles y jueves de 13h a 14h.
- URL Web
- -
- esteban@usal.es
- Teléfono
- 923294949
2. Recomendaciones previas
Los conceptos que se deben manejar correctamente para facilitar la asimilación de esta asignatura son escasos, siendo conveniente conocer los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos (operaciones básicas: pertenencia, unión, intersección y diferencia; o producto cartesiano de 2 o más conjuntos) y las nociones básicas de aplicaciones de conjuntos. También es deseable que se tenga un conocimiento medio de los números reales y sus principales propiedades. Para ello es recomendable haber cursado previamente las asignaturas Análisis Matemático I y II.
3. Objetivos
Objetivos generales:
Conseguir que los estudiantes, además de conocer y saber utilizar los conceptos básicos de la Topología, empiecen a madurar científicamente, valoren más los métodos y las ideas que se les presentan que los resultados concretos, y apliquen teorías generales a situaciones particulares, para avanzar en su formación integral como matemáticos.
Objetivos específicos:
Familiarizar al alumno con el lenguaje y los conceptos de la Topología elemental, entendida como la definición de los espacios topológicos y el estudio de sus propiedades básicas.
Obtener las destrezas necesarias para garantizar que, tras superar el programa del curso, hayan adquirido los conocimientos topológicos necesarios para enfrentarse a estudios posteriores de asignaturas de diferentes módulos del Plan de Estudios como Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica (con la base para estudiar la topología de Zariski para espectros de anillos y las variedades algebraicas), Geometría Diferencial II (con la comprensión adecuada de la noción de variedad diferenciable), Análisis Funcional (con conocimientos suficientes para iniciar el estudio de los espacios de Banach), o Topología Algebraica (donde asimilar los espacios uniformes, las compactificaciones o la topología de los espacios de funciones),
4. Competencias a adquirir | Resultados de Aprendizaje
Básicas / Generales | Conocimientos.
Conocimientos:
CON01: Analizar los conceptos y resultados fundamentales de la topología y de la teoría de espacios vectoriales, afines y proyectivos, aplicándolos en problemas geométricos.
Específicas | Habilidades.
Habilidades:
HAB01: Evaluar e interpretar resultados matemáticos, formular conclusiones fundamentadas, resolver problemas y diseñar modelos matemáticos validados con herramientas adecuadas.
Transversales | Competencias.
-
Competencias:
CMP01: Formular proposiciones matemáticas, construir y verificar demostraciones rigurosas, y refutar enunciados mediante contraejemplos utilizando el lenguaje matemático de manera precisa.
CMP02: Analizar y definir nuevos objetos matemáticos a partir de estructuras previas, identificando y abstrayendo sus propiedades esenciales.
5. Contenidos
Teoría.
1.- Espacios topológicos.
Topología por abiertos y por cerrados. Comparación de topologías. Entornos de un punto. Subespacios topológicos. Bases y subbases.
2.- Elementos de un espacio topológico.
Interior, cierre, frontera y puntos de acumulación. Sucesiones y límites. Conjuntos densos y numerables. Axiomas de separación.
3.- Continuidad. Topologías inicial y final.
Funciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Continuidad uniforme e isometrías en espacios métricos. Topología inicial y la topología final de una aplicación.
4.- Producto y unión disjunta de espacios topológicos.
Topología producto. Continuidad y productos.
5.- Espacios métricos.
Distancia sobre un conjunto. Bolas y topología métrica. Espacios topológicos metrizables. Métricas equivalentes. Acotación.
6.- Espacios conexos.
Espacios y subespacios conexos. Subconjuntos conexos de R. Producto de espacios topológicos conexos. Conexión y continuidad. Conexión local y componentes conexas. Espacios arcoconexos. Grupo fundamental.
7.- Espacios compactos.
Espacios y subespacios compactos. Compactos y cerrados en espacios Hausdorff y métricos. Subconjuntos compactos de Rⁿ. Compacidad y continuidad. Compacidad por sucesiones. Local compacidad y compactificación de Alexandroff.
8.- Espacios métricos completos.
Sucesiones de Cauchy, completitud. Subespacios topológicos completos. Completación de un espacio métrico
6. Metodologías Docentes
Clases teóricas impartidas en grupos grandes basadas en clases expositivas que permitan al docente introducir los conocimientos necesarios para el correcto desarrollo del proceso de aprendizaje. Estas clases presentarán contenidos imprescindibles objeto de un aprendizaje conceptual razonado que sirva posteriormente para desarrollar competencias más amplias.
● Clases prácticas impartidas mayoritariamente en grupos pequeños basadas en la resolución de ejercicios y problemas. El objetivo de estas clases será promover un aprendizaje significativo que permita al alumno profundizar en los conocimientos teóricos adquiridos, relacionarlos y aplicarlos de manera creativa a la resolución de problemas más complejos.
● Tutorías individuales y/o grupales dirigidas tanto al apoyo en el aprendizaje del alumnado, como al seguimiento en la elaboración de actividades.
● Trabajo autónomo del estudiante. Lecturas de preparación de clases presenciales, realización de ejercicios, búsqueda de información, pruebas de autoevaluación, preparación de las pruebas de evaluación.
7. Distribución de las Metodologías Docentes
Previsión de distribución de las metodologías docentes (Fecha: 08-06-26)8. Recursos
Libros de consulta para el alumno.
James R. Munkres. Topología. (2ª Edición); Prentice Hall (Madrid), 2002.
Otras referencias bibliográficas, electrónicas o cualquier otro tipo de recurso.
- J.L. Kelley. General Topology. Courier Dover Publications, 2017.
- E. Bujalance y J. Tarrés. Problemas de Topología. Cuadernos de la UNED 062, 1991.
- G. Fleitas; J. Margalef. Problemas de Topología General (2ª Edición). Alambra (Madrid), 1983.
- R. López. Topología. Ed. Universidad de Granada, 2014.
- J. Margalef y E. Outerelo. Introducción a la Topología. Complutense D. L. (Madrid), 1993.
- E. Outerelo Domínguez y J.M. Sánchez. Elementos de topología. Ed Sanz y Torres, 2008.
9. Evaluación
Criterios de evaluación.
Los pesos en la calificación final de las distintas actividades de evaluación serán:
- Actividades presenciales de evaluación continua: 30%.
- Examen final: 70% (mínimo de 3 sobre 10).
El estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.
Sistemas de evaluación.
Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:
- Actividades presenciales de evaluación continua:
Durante el cuatrimestre serán convocadas con suficiente antelación, tanto en clase como a través de la plataforma Studium, unas pruebas presenciales.
Las actividades de evaluación continua se secuenciarán de manera adecuada y se coordinarán con actividades similares de las otras asignaturas del cuatrimestre.
- Examen:
Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de cuatro horas. El examen consistirá en un apartado de cuestiones teóricas (50%) y la resolución de unos problemas (50%). Para aprobar la asignatura será necesario superar el 30% de este examen final.
Recomendaciones para la evaluación.
Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías.