Conocimientos:

CON01: Analizar los conceptos y resultados fundamentales de la topología y de la teoría de espacios vectoriales, afines y proyectivos, aplicándolos en problemas geométricos. 

CON04: Interpretar y utilizar los conceptos de curvas, superficies y variedades diferenciables en la modelización de fenómenos físicos. 

CON06: Analizar y aplicar los fundamentos del cálculo diferencial e integral en funciones de una y varias variables reales. 

CON18: Interpretar y modelizar fenómenos físicos mediante formulaciones matemáticas. 

Habilidades:

HAB01: Evaluar e interpretar resultados matemáticos, formular conclusiones fundamentadas, resolver problemas y diseñar modelos matemáticos validados con herramientas adecuadas.

HAB02: Aplicar técnicas de modelado matemático en la resolución de problemas en distintos ámbitos científicos y productivos. 

HAB07: Transferir y aplicar conocimientos matemáticos en entornos profesionales, incluyendo empresas y centros de investigación.

HAB08: Comunicar de manera efectiva conceptos matemáticos complejos, en entornos académicos y/o profesionales, mediante informes, presentaciones y visualización de datos. 

• Competencias:

  CMP01: Formular proposiciones matemáticas, construir y verificar demostraciones rigurosas, y refutar enunciados mediante contraejemplos utilizando el lenguaje matemático de manera precisa. 

  CMP02: Analizar y definir nuevos objetos matemáticos a partir de estructuras previas, identificando y abstrayendo sus propiedades esenciales. 

  CMP03: Comunicar con precisión información matemática, ideas, problemas y soluciones, adaptando el discurso a públicos especializados y no especializados, tanto de forma oral como escrita. 

  CMP04: Modelar matemáticamente fenómenos físicos e interpretar las implicaciones físicas derivadas de los modelos matemáticos. 

  CMP06: Evaluar e interpretar resultados matemáticos y extraer conclusiones fundamentadas utilizando herramientas matemáticas. 

  CMP10: Adquirir y aplicar de forma autónoma nuevos conocimientos y técnicas matemáticas en contextos reales. 

Geometría diferencial de curvas del espacio euclídeo n-dimensional 

• Curvas parametrizadas y campo de velocidades. Longitud de una curva. Reparametrización de una curva. 
• Campos vectoriales con soporte una curva parametrizada. Paralelismo euclídeo y derivación covariante euclídea a lo largo de una curva. Referencias y fórmulas de Frenet. 
• Estudio de las curvas planas y tridimensionales. Torsión y curvatura de una curva. Clasificación bajo movimientos euclídeos. 
• Algunas propiedades globales de las curvas euclídeas. 

Geometría diferencial de superficies del espacio euclídeo tridimensional

• Concepto de superficie. Ecuaciones paramétricas e implícitas. Espacio tangente en un punto a una superficie. Campos tangentes a una superficie. Elemento de área de una superficie.   
• Primera y segunda forma fundamental. Ecuación de Gauss. Endomorfismo de Weingarten. Curvaturas y direcciones principales. Curvatura media y curvatura de Gauss. Clasificación de los puntos de una superficie.
• Curvaturas geodésica y normal. Teoremas de Euler y Meusnier. Geodésicas sobre una superficie. 
• Teorema egregio de Gauss y ecuaciones de Codazzi-Mainardi. Contenido geométrico del teorema fundamental de la teoría de superficies. 
• Algunas propiedades globales de las superficies del espacio euclídeo tridimensional: Enunciado y aplicaciones del teorema de Gauss-Bonnet. 

Generalización al estudio de las hipersuperficies orientadas del espacio euclídeo n-dimensional Rⁿ.

• M.P. do Carmo: Geometría Diferencial de curvas y superficies. Alianza Universidad Textos. Volumen 135. 1990.
• M. Á. Hernández Cifre y J. A. Pastor González: Un curso de Geometría Diferencial. Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador. CSIC. Madrid, 2010.
• K. Tapp: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, 2016
• J. M. Rodríguez-Sanjurgo y J. M. Ruíz: Introducción a la Geometría Diferencial I: Curvas. Editorial Sanz y Torres. 2012.
• J. M. Rodríguez-Sanjurgo y J. M. Ruíz: Introducción a la Geometría Diferencial II: Superficies. Editorial Sanz y Torres. 2019.
• J. Manuel Gamboa, A.F. Costa y A. M. Porto: Notas de Geometría Diferencial de curvas y superficies: Teoría y ejercicios. Editorial Sanz y Torres. 2005. 

• A. Gray, E. Abbena y S. Salamon: Modern differential geometry of curves and surfaces with mathematica (3ª edición).  Editorial Chapman and Hall/ CRC. 2006.
• B. O’ Neill: Elementos de Geometría Diferencial. Editorial Limusa Wesley. 1972.
• S. Montiel y A. Ros: Curvas y superficies. Proyecto Sur de Ediciones SL. 1996.
• W. Kühnel: Differential Geometry. Curves-Surfaces-Manifolds. Second Edition. Student Mathematical Library. Vol. 16. American Mathematical Society. 2006.

La evaluación de la adquisición de las competencias y resultados de aprendizaje de la materia se basará fundamentalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente su participación en los distintos seminarios, mediante los controles presenciales, así como con un examen final.

Primera convocatoria. Para calcular la calificación final de la primera convocatoria se utilizará la siguiente ponderación:

• Controles: 36%.
• Participación activa en los seminarios: 4%.
• Examen final: 60%.

Además, se requerirá una nota mínima de 2.5 (sobre 10) en cada parte (teórica y problemas) del examen final. En caso de no superar este mínimo, la calificación final que figurará en actas será la nota del examen.

Segunda convocatoria. Aquellos estudiantes que mediante este sistema de evaluación no superen la asignatura tendrán la posibilidad de ser reevaluados. Se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria. Con carácter general, la calificación de esta convocatoria de recuperación se obtendrá mediante la ponderación del 20% de evaluación continua (controles y participación en los seminarios) con el 80% del examen de recuperación, o bien únicamente con la nota del examen de recuperación si ésta última es superior a la media ponderada anterior indicada. El estudiante que no se presente al examen de recuperación se considerará “no presentado”.

Participación activa en los seminarios: se valorará con un 4% de la nota final dicha participación en los seminarios, así como en la realización optativa de propuestas que complementen esta actividad.

Controles de evaluación: se realizarán a lo largo del cuatrimestre dos pruebas escritas presenciales con las que se valorará la adquisición de competencias alcanzadas por el estudiante. La media aritmética de estas pruebas de evaluación continua constituirá el 36% de la calificación final de la asignatura en la primera convocatoria y el 20% en la segunda.

Examen final: al final del cuatrimestre se realizará un examen global de la asignatura donde se valorará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico. El examen constará de una parte teórica y otra de problemas cuyos pesos respectivos en el examen serán del 40% y 60%. Este examen contará un 60% de la calificación final de la asignatura (primera convocatoria), y se exigirá un mínimo del 35% de la nota para aprobar la asignatura.

Examen de recuperación: se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria (teoría 40% y problemas 60%). La calificación de esta segunda convocatoria se obtendrá mediante la ponderación del 20% de las pruebas de evaluación continua (suma de los controles y la participación en los seminarios) con el 80% del examen de recuperación.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas. En cierto sentido, las actividades de evaluación continua deben ser entendidas también como una auto-evaluación de cada estudiante permitiéndole analizar su propia evolución en el aprendizaje y la adquisición de competencias.