Ampliación de Ecuaciones Diferenciales

Formación optativa. Rama Ciencias.

Académico

• Docencia Universitaria e Investigación
• Docencia no universitaria

Técnico

• Empresas de Informática y Telecomunicaciones
• Industria Social
• Administración pública
• Empresas de Banca, Finanzas y Seguros
• Consultorías

La teoría de ecuaciones diferenciales es uno de los temas centrales de las Matemáticas tanto por sus aplicaciones como por las diferentes técnicas con las que se puede abordar. Por ello, es difícil encontrar una rama de las matemáticas con la que no tenga fuertes relaciones. El campo de sus aplicaciones es amplísimo, siendo su origen y motivación principal la Física. El contenido de este curso consiste en un primer contacto con la teoría más clásica y algunas de las ecuaciones en derivadas parciales de mayor significado.

1. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Sistemas de Pfaff, distribuciones y campos característicos. Solución del problema de Cauchy. Integrales completas. Integral singular.
2. Ecuaciones en derivadas parciales de orden superior. Generalidades. Teorema de Cauchy-Kowalevsky.  Características. Clasificación de las ecuaciones de segundo orden.
3. Ecuaciones hiperbólicas. Ecuación de ondas. Problema de Cauchy. Problemas de contorno. El método de Fourier.
4. Ecuaciones elípticas. Ecuaciones de Laplace y de Poisson. Principio del máximo. Problema de Dirichlet. Problema de Neumann. Teoría del potencial.
5. Ecuaciones parabólicas. Ecuación del calor. Primer problema de contorno. Principio del máximo.

Académicas

• Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• Conocer la demostración rigurosa de algunos teoremas clásicos de la teoría de ecuaciones diferenciales.
• Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

• Asimilar la noción de solución de ecuaciones en derivadas parciales y algunas de sus generalizaciones.
• Resolver el problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
• Comprender y aplicar los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones en derivadas parciales.
• Comprender el teorema de Cauchy-Kowalevsky.
• Distinguir diferentes tipos de ecuaciones en derivadas parciales.
• Aplicar el método de Fourier para resolver algunos problemas de contorno en ecuaciones en derivadas parciales.
• Conocer algunas propiedades básicas de la ecuación de ondas.
• Conocer algunas propiedades básicas de la ecuación de Laplace.
• Conocer algunas propiedades básicas de la ecuación del calor.

Profesionales

• Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de procesos dinámicos utilizando ecuaciones diferenciales.
• Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.
• Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.
• Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.
• Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.

Instrumentales:

• Capacidad de organizar y planificar.
• Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
• Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

• Comunicación de conceptos abstractos.
• Argumentación racional.
• Capacidad de aprendizaje.
• Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

• Creatividad.
• Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.
• Planificar y dirigir.

• J. Muñoz, Ecuaciones diferenciales I, Universidad de Salamanca, 1982.
• I. G. Petrovsky, Lectures on partial differential equations, Dover Publications, New York 1991.
• A. N. Tíjonov, A.A. Samarski, Ecuaciones de la física matemática, Ed. URSS, 1980.

• V. I. Arnold, Lectures on partial differential equations, Springer-Verlag, 2004.
• D. Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differental equations, Springer-Verlag, 1977.
• F. John, Partial differential equations, Springer-Verlag, 1980.
• H. F. Weinberger, Ecuaciones en derivadas parciales, Ed. Reverté, 1988.
• S.L.Sobolev, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Dover, 1989.
• D. Zill, R. Cullen. Matemáticas avanzadas para ingeniería v. I Ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill, 2008.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias descritas, así como el logro de los objetivos propuestos.

• Examen final: 70% de la nota final.
• Evaluación continua: 30% de la nota final.

Para obtener una evaluación final positiva se exigirá una puntuación mínima de 3’5 sobre 10 en el examen escrito.

Se valorará la exposición voluntaria de problemas y tareas en los seminarios con un máximo de un 10% extra de puntuación.

Entre paréntesis se indica la puntuación aportada por cada actividad (de un máximo final de 10).

Actividades a evaluar

• Una prueba escritas parcial (3 puntos)
• Examen final escrito (7 puntos).

Matización de la nota.

• Podrá añadirse un máximo de 1 punto, en atención a la participación voluntaria en los seminarios.
• En determinados casos, y previamente al examen final, podría considerarse la realización y exposición de un trabajo que haría media con la exposición oral.

Recuperación:

Quienes no hayan superado la evaluación ordinaria, dispondrán de un examen de recuperación con el mismo valor (70% de la nota final). La puntuación obtenida en la evaluación continua (todo lo que no es examen final) se mantendrá para dicha recuperación. La evaluación continua no es recuperable. El resto de consideraciones es el mismo.

El trabajo personal del alumno es parte esencial para el éxito en la asimilación de la asignatura. Como puntos concretos se recomienda:

• Asistir a las clases y seminarios.
• En la preparación de la parte teórica, evitar la memorización irreflexiva, siendo importante analizar y comprender los conceptos, razonamientos, etc.
• En cuanto a la preparación de problemas, ejercitarse con los problemas que aparecen en los libros de texto recomendados.
• Analizar los errores cometidos, una vez se hayan corregido las diferentes tareas, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
• Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía y acudiendo al profesor.

• Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.
• Analizar los errores cometidos en el examen, acudiendo para ello a la revisión.