Ampliación de Análisis Matemático

Optativa. Esta asignatura es una introducción a la teoría de funciones de variable compleja y se complementa con Análisis Complejo II. Será útil en el estudio del análisis armónico. La variable compleja es fundamental para quienes estudien geometría algebraica.

• Docencia Universitaria e Investigación
• Docencia no universitaria

TEMAS

Repaso del álgebra y aritmética compleja.

Módulo, conjugado, argumento. Representación polar. Fórmula de Euler. Raíces de la unidad.

Funciones elementales complejas.

Función exponencial, funciones trigonométricas, logaritmos y potencias complejas. Propiedades básicas.

Cálculo diferencial e integral complejo.

Derivadas complejas. Formas diferenciales complejas. Ecuaciones de Cauchy y Riemann. Funciones holomorfas. Caracterizaciones diferenciales de la holomorfía. Integración sobre curvas. Los teoremas de Cauchy, Goursat. Morera. Caracterizaciones integrales de la holomorfía.

Desarrollos en series de potencias.

La fórmula integral de Cauchy. Las desigualdades de Cauchy. Equivalencia entre funciones holomorfas y funciones analíticas. Series formales. Radio de convergencia. Convergencia uniforme y uniforme en compactos. Teorema de Weierstrass. Derivación e integración de series. Series de Laurent. Singularidades aisladas. Teorema de los residuos. Aplicaciones al cálculo de integrales y sumas.

Temas especiales

Ceros de las funciones analíticas. Principio de identidad. Prolongación analítica. Principio del módulo máximo. Teorema de Rouché. Ubicación de los ceros de polinomios. Funciones definidas por integrales. Funciones especiales (función gamma, función zeta).

• Afianzar la comprensión y utilización del lenguaje científico.
• Capacidad de transmitir los conocimientos.
• Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas.
• Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

• Realizar cálculos con las funciones elementales complejas.
• Entender el concepto de función holomorfa y contrastarlo con el de función diferenciable real.
• Comprender las relaciones básicas entre la geometría y topología de curvas planas y el Análisis Complejo.
• Comprender las relaciones básicas entre el álgebra de series y el Análisis Complejo.
• Entender los resultados básicos sobre los ceros de funciones analíticas.
• Saber calcular integrales y sumas por el método de los residuos.
• Saber emplear el teorema de Rouché para contar ceros y polos.
• Manejar los principios fundamentales del Análisis Complejo y saber aplicarlos en abstracto para deducir consecuencias teóricas.

• Capacidad de organizar y planificar.
• Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
• Analizar y contrastar información obtenida de distintas fuentes.
• Comunicación de conceptos abstractos.
• Argumentación racional.
• Capacidad de aprendizaje.
• Inquietud por la calidad.
• Creatividad.
• Habilidad para trabajar en equipo.

Se proporcionarán resúmenes, hojas de problemas, tareas, etc. a través de la plataforma Studium de la Universidad de Salamanca

• Murray R. Spiegel, Variable Compleja (Serie Schaum).
• John Conway: Functions of One Complex Variable. Springer 1978.
• Serge Lang: Complex Analysis. Springer Verlag, 1999.
• J. Muñoz Díaz: Curso de Teoría de Funciones I. Ed. Tecnos. Madrid, 1978.
• Tristan Needham: Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1998.

En la plataforma Studium se proporcionará material diverso en formato electrónico, tal como apuntes, resúmenes de los temas, ejercicios resueltos, ejemplos y tareas a realizar.

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada actividad a evaluar y conocimientos básicos de cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

• Examen escrito: 60% de la nota final.
• Pruebas de evaluación continua: 40% de la nota final.

Actividades a evaluar

• Realización y exposición de trabajos en equipo.
• Exámenes y pruebas presenciales escritas tanto de conceptos abstractos como de resolución práctica.

• En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
• Es fundamental referirse al material disponible en la plataforma digital Studium, llevando al día la asimilación de los apuntes y las tareas allí expuestas, así como estar al corriente de los anuncios, recomendaciones y reglas que se difundan a través de este medio.
• Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente como acudiendo a las tutorías.
• Ensayo previo de la exposición de los trabajos en un equipo, para detectar las posibles deficiencias en la asimilación de los conceptos, así como en la forma de expresión.
• En la preparación de la parte teórica, para poder resolver las cuestiones teóricas que se propondrán, es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
• En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas resueltos y tanto o más con los problemas propuestos, dedicando el tiempo y esfuerzo necesarios para su resolución.

• Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos, acudiendo para ello a la revisión.
• Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.

Las pruebas presenciales y examen final serán recuperables mediante un examen escrito con peso igual a la suma de esas partes.

Debido a su naturaleza de estudio continuado y esfuerzo repetido y prolongado en el tiempo, la parte correspondiente a la evaluación continua (trabajos individuales o en grupo, entregas, exposiciones, etc.) no será recuperable.