Esta materia pertenece al módulo formativo “Ampliación de Álgebra” ,  el cual incluye además las materias Ampliación de Álgebra Conmutativa, Ecuaciones Algebraicas y Teoría de Galois, Geometría Algebraica y Representaciones de Grupos finitos.

Su carácter es optativo vinculada a la materia de Matemáticas de la Rama de Ciencias

Como el resto de materias del módulo, está recomendada únicamente en el itinerario académico, esto es, para personas interesadas en prepararse para un perfil profesional de docencia e investigación en Matemáticas tanto universitaria como no universitaria.

TEMA 1: Teoría de módulos y k-álgebras.

Módulos. Sucesiones exactas de módulos: Lema de la Serpiente. Producto tensorial de módulos: definición de producto tensorial, propiedad universal, ejemplos, álgebras, características del producto tensorial de álgebras. Exactitud del producto tensorial: módulos planos y fielmente planos, definiciones y ejemplos. Álgebra simétrica y hemisimétrica.

TEMA 2: Localización

Anillos y módulos de fracciones: definiciones y ejemplos, morfismo de localización.

Propiedades de la localización: exactitud, platitud y preservación de las condiciones de finitud de un módulo. Propiedades locales de los módulos: anulación y exactitud. Lema de Nakayama.

TEMA 3: Teoría de la longitud y clasificación de módulos.

Teoría de la longitud. Módulos simples, serie de composición, aditividad de la longitud, longitud y dimensión. Clasificación de módulos finito-generados sobre dominios de ideales principales.

TEMA 4: Módulos noetherianos.

Módulos noetherianos y artinianos: definiciones, caracterizaciones y ejemplos. Noetherianidad de los anillos de polinomios: teorema de la base de Hilbert. Consecuencias del teorema de la base de Hilbert.

TEMA 5: Diferenciales y Derivaciones.

Derivaciones: definición, ejemplos, módulo de las derivaciones, sucesiones exactas de derivaciones, espacio tangente de Zariski. Diferenciales: definición de diferencial, módulo de diferenciales relativas a un morfismo de anillos, propiedad universal, sucesiones exactas de diferenciales.

• Operar con el producto tensorial y la localización de módulos en ejemplos concretos.
• Clasificar módulos finito generados sobre anillos de ideales principales.
• Saber comprobar cuando un polinomio en varias variables pertenece a un ideal..
• Calcular derivaciones y diferenciales de anillos sencillos. Calcular diferenciales relativas para morfismos sencillos de anillos.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1, CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

• M. Atiyah, J. M. Macdonall, ``Introducción al álgebra Conmutativa", Ed. Reverte (1989).

• C Sancho de Salas, P. Sancho de Salas, “Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica” Manuales UEX 90 (2013).

• M. Reid, `Undergraduate algebraic geometry”, London Mathematical Society Texts, 12. Cambridge Universitey Press, Cambrridge, 1988.

• D. Eisenbud, ``Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry". Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, (1995).

• E. Kunz,  ``Introduction to commutative algebra and algebraic geometry". Translated from the German by Michael Ackerman. With a preface by David Mumford. Birkh\"{a}user Boston, Inc., Boston, MA, (1985).

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado con pruebas intermedias y un examen final.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Actividades Presenciales de evaluación continua:

• En el horario lectivo de la materia, se realizará una prueba a mitad del cuatrimestre.

De todas las actividades se comunicará la nota al estudiante en el tablón del aula o por el campus virtual, facilitando una hora para la revisión (en caso de no ser llamados a tutorías).

Examen:

• Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de 4 horas.

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías.

Para las personas que suspendan la materia, su segunda calificación se obtendrá a partir de las actividades de evaluación continua desarrolladas durante el semestre y de la prueba escrita que está prevista en la programación docente después del final de las actividades docentes ordinarias. Esta segunda calificación se obtendrá de la siguiente forma:

• Actividades Presenciales de evaluación continua, realizada a lo largo del curso:  30%
• Nota del examen de recuperación: 70%

Para poder obtener una segunda calificación positiva será necesario cumplir los siguientes mínimos:

•Segundo Examen: 3 sobre 10.