Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de Variable Compleja.

Formación básica. Rama de Ciencias.

Al ser una materia de carácter básico, es fundamental en cualquier perfil profesional vinculado a la Titulación de Grado en Matemáticas.

Contenidos teóricos

Tema 1.  Sucesiones de números racionales. Definición de los números reales mediante sucesiones de Cauchy en Q. Estructura de anillo en R. Qcomo subanillo de R. Números reales positivos y números reales negativos. R como cuerpo ordenado. Cortaduras en R. Existencia del supremo y del ínfimo de un conjunto acotado de números reales. Forma decimal de un número real. Sucesiones no convergentes. Subsucesiones. Límites superior e inferior de una sucesión acotada.

Tema 2. Igualdad y desigualdad de cardinales. Teorema de Cantor-Bernstein. Desigualdad entre el cardinal de un conjunto y el cardinal de su familia de subconjuntos. Conjuntos numerables. Subconjuntos de un conjunto numerable. Numerabilidad de Q. No numerabilidad de R.

Tema 3. Distancia entre dos puntos de R. Entornos de un punto. Subconjuntos abiertos y subconjuntos cerrados de R. Puntos de acumulación. Caracterización de los subconjuntos cerrados. Interior, exterior y frontera de un conjunto. Espacios métricos. Generalización para espacios métricos de los conceptos de subconjunto abierto, subconjunto cerrado, etc., y de las propiedades fundamentales ya estudiadas en el caso particular de R. Sucesiones en un espacio métrico. Completitud. Subconjuntos compactos de un espacio métrico. Caracterización de los subconjuntos compactos de R, e idea sobre la generalización para Rn . Subconjuntos conexos de un espacio métrico. Caracterización de los subconjuntos conexos de R. Límite en un punto de una aplicación entre espacios métricos. Aplicaciones continuas. Condiciones equivalentes a la continuidad. Imágenes de conjuntos compactos y conjuntos conexos por las aplicaciones continuas. Generalizaciones de los clásicos teoremas de Weierstrass y Bolzano. Continuidad uniforme. Teorema de Heine.

Tema 4. Funciones reales de una variable real. Límite funcional. Límites laterales. Continuidad. Homeomorfismos entre intervalos cerrados. Derivada en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica de la derivada. Función derivada. Derivadas de orden superior. Idea sobre la derivación parcial de funciones de dos o mas variables. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos locales. Teorema de Rolle. Teorema de Lagrange o de los incrementos finitos. Teorema de Cauchy o del valor medio. Regla de L’Hopital. Fórmula de Taylor. Propiedades de los desarrollos de Taylor. Formas del resto del desarrollo de Taylor. Concavidad. Convexidad. Puntos de inflexión. Aplicación de la fórmula de Taylor al estudio local de una función.

1. Números reales. Principio de Inducción. Intervalos. Sumatorios. Valor absoluto. Supremo, ínfimo, máximo y mínimo.  

2. Números complejos. Operaciones elementales: suma, producto, cociente. Forma polar. Fórmula de Moivre. Logaritmos y raíces. Resolución de ecuaciones.

3. Sucesiones de números reales. Convergencia. Indeterminaciones. Cálculo efectivo de límites: infinitésimos equivalentes y criterio de Stolz. Sucesiones recurrentes.

4. Límites y continuidad. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos de acumulación. Cierre e interior de un conjunto. Frontera. Cálculo efectivo de límites: infinitésimos equivalentes. Estudio de la continuidad de funciones. Aplicación de los teoremas fundamentales.

5. Cálculo diferencial. Derivada en un punto. Aplicación de las reglas de derivación para el cálculo efectivo de derivadas de funciones y de sus inversas. Aplicación de los teoremas de Rolle y del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmula de Taylor. Cálculo de límites mediante desarrollos limitados. Crecimiento y decrecimiento. Cálculo de máximos y mínimos. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Representación aproximada de funciones. Problemas de optimización mediante la aplicación de la derivada.

Académicas

·       Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

·       Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del Cálculo Diferencial.

·       Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

·       Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.

·       Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

·       Manejo de los números reales y complejos.

·       Manipulación de desigualdades y sucesiones.

·       Comprender y trabajar intuitiva, geométrica y formalmente con las nociones de límite y derivada.

·       Utilizar las reglas de derivación y los teoremas fundamentales.

·       Calcular y estudiar extremos de funciones.

·       Analizar y dibujar funciones, deducir propiedades de una función a partir de su gráfica.

Profesionales

·       Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.

·       Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.

·       Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.

·       Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.

.   Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

• J. Escuadra Burrieza, J. Rodríguez Lombardero y A. Tocino García, Análisis Matemático. Hespérides. 1998.
• F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en una variable real. Ed. Thomson, 2004.

·       J. M. Ortega Aramburu, Análisis Matemático. Ed. Labor.

·       J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C.A. Trejo, Análisis Matemático (tomo 1). Ed. Kapelusz.

·       S. Lang, Introducción al Análisis Matemático. Addison Wesley.

·       D. G. Zill, W. S. Wright, Cálculo de una variable. Transcendentes tempranas.  Ed Mc Graw Hill.

·       Programa Mathematica (Wolfram Research)

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

Teoría

• Exposición oral de temas de teoría. Hasta un 70% de la nota de teoría.
• Examen final de teoría: entre 30% y 100% de la nota final de teoría.

Problemas

• Evaluación continua. 50% de la nota final de problemas. Los estudiantes entregarán y defenderán oralmente los trabajos individuales asignados.
• Examen final de problemas: 50% de la nota de problemas. Será necesario tener 5 puntos sobre 10 en el examen de problemas para hacer la media con la evaluación continua.

La nota final de la asignatura será un 40% de la nota de teoría y un 60% de la nota de problemas.

La evaluación continua NO es recuperable. La recuperación consistirá en un examen de teoría y otro de problemas, con el mismo peso en la calificación que el indicado anteriormente.

Actividades a evaluar

• Entrega de trabajos individuales.

• Exposiciones teóricas.

• Exámenes escritos:

• de teoría (conocimiento de conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en las clases magistrales)
• de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves)

En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.

Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente, como acudiendo a las tutorías.

En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.

En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía y acudiendo al profesor.

Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).

Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.