Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de Variable Compleja

Obligatoria. Es la generalización para funciones de varias variables de los conceptos estudiados en Análisis Matemático I. Se introducen conceptos que se generalizan en la asignatura de Topología, y se sientan las bases para el estudio de la Geometría Diferencial. También está relacionada con la asignatura Ecuaciones Diferenciales, que se imparte en el mismo curso y cuatrimestre.

• Docencia Universitaria e Investigación
• Docencia no universitaria Técnico
• Empresas de Informática y Telecomunicaciones
• Industria Social
• Administración pública
• Empresas de Banca, Finanzas y Seguros
• Consultorías

TEMA 1. Nociones de topología en Rⁿ

Normas en un espacio vectorial. Distancia asociada a una norma. Espacios métricos. El espacio euclídeo n-dimensional. Bolas abiertas y cerradas. Conjuntos abiertos y cerrados. Interior, exterior, frontera y puntos de acumulación de un conjunto. Compacidad. Sucesiones de Cauchy. Sucesiones convergentes. Completitud. Límite de una aplicación entre espacios normados. Propiedades. Límites según subconjuntos. Aplicaciones continuas. Propiedades. Aplicaciones lineales y multilineales continuas.

TEMA 2. Cálculo diferencial en varias variables.

Derivada de una función con un vector. Diferencial en un punto de una aplicación entre abiertos de espacios normados de dimensión finita. Expresión en coordenadas. Propiedades algebraicas de la diferencial. Regla de la cadena. Teorema del valor medio. Diferenciales de orden superior. Funciones de clase C^h. Teorema de Schwarz sobre la igualdad de derivadas cruzadas. Fórmula de Taylor. Aplicación al estudio de extremos locales.

TEMA 3. El teorema de la función inversa y aplicaciones

Teorema de la función inversa. Teorema de las funciones implícitas. Criterio de dependencia funcional. Sistemas de coordenadas curvilíneas. Noción de subvariedad diferenciable de Rⁿ. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange.

Académicas

Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

• Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del cálculo diferencial en varias variables.
• Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
• Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
• Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

• Calcular límites de funciones y saber determinar el dominio en que una función es continua, aplicando diversas técnicas.
• Estudiar la diferenciabilidad de una función, sus derivadas con cualquier vector y sus diferenciales de orden superior.
• Calcular desarrollos de Taylor.
• Calcular extremos locales y condicionados de funciones de varias variables.
• Comprender el teorema de la función inversa y sus consecuencias.
• Estudiar si una función dada tiene inversa local.
• Estudiar cuándo de un sistema homogéneo de ecuaciones no lineales se pueden despejar localmente ciertas variables como funciones de las demás.
• Realizar cálculos con funciones definidas implícitamente.
• Realizar las operaciones del cálculo diferencial en distintos sistemas de coordenadas.

Profesionales

• Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.
• Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.
• Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.
• Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.
• Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Instrumentales:

• Capacidad de organizar y planificar.
• Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.
• Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

• Comunicación de conceptos abstractos.
• Argumentación racional.
• Capacidad de aprendizaje.
• Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

• Creatividad.
• Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.
• Planificar y dirigir.

Teoría:

• J. de Burgos, Cálculo Infinitesimal de Varias Variables. McGraw-Hill, 2008.
• J. A. Fernández Viña, Análisis Matemático II: Topología y Cálculo Diferencial. Ed. Tecnos, 1992.

Problemas:

• F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables. Ed. Thomson.
• J. A. Fernández Viña, E. Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Ed. Tecnos.

Teoría:

• T. M. Apóstol, Análisis Matemático. Ed. Reverté
• F. del Castillo, Análisis Matemático II. Ed. Alambra.
• J. Escuadra, J. Rodríguez, A. Tocino, Análisis Matemático. Ed. Hespérides.
• L. H. Loomis, S. Sternberg, Advanced Calculus. Ed. Addison Wesley Longman.
• L. M. Navas, Curso de Análisis Matemático II. Ed. LC.

Problemas:

• M. Besada, F. J. García, M. A. Mirás, C. Vázquez, Cálculo de varias variables. Cuestiones y ejercicios resueltos. Ed. Prentice Hall.
• F. Bombal, L. Rodríguez, G. Vera, Problemas de Análisis Matemático 2. Cálculo diferencial. Ed. AC.
• G. L. Bradley, K. J. Smith, Cálculo de varias variables. Ed Prentice Hall.
• A. García y otros, Cálculo II: teoría y problemas de funciones de varias variables. Ed. Clagsa.
• L. M. Navas, Análisis Matemático II. Problemas y Soluciones. Ed. LC.

Recursos de internet:

• En la página web del curso, a la que se accede desde la página http://www.moodle.usal.es, están disponibles los enunciados de los problemas, las hojas con las que se trabajará en los seminarios, enlaces a otros recursos en Internet y cualquier otra información que se considere útil. Asimismo es un cauce de comunicación entre profesores y alumnos.
• En http://www.matematicas.net hay enlaces a cursos, problemas, apuntes, etc

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. Se exigirá una nota mínima en cada grupo de actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades. En el caso de los exámenes escritos, este mínimo será de 3.5 puntos sobre 10, tanto en teoría como en problemas.

La evaluación valorará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico que se comprobará tanto por actividades de evaluación continua como por una prueba final por escrito.

Evaluación ordinaria:

• Las actividades de evaluación continua (pruebas por escrito, resolución de ejercicios propuestos a lo largo del curso y participación en los seminarios) supondrán el 30% de la nota final.
• Examen final: habrá un examen final de teoría y problemas que se realizará por escrito y cuya calificación supondrá el 70% de la nota total de la asignatura.

Examen de recuperación: Para aquellos alumnos que no hayan aprobado la asignatura en la convocatoria ordinaria habrá un segundo examen escrito de teoría y problemas con el que podrán mejorar la nota obtenida en el examen final.

La parte de la nota correspondiente a la evaluación continua no se puede recuperar.

Evaluación continua, se valorará:

• Pruebas presenciales.
• Trabajo de resolución de problemas que se propondrán a lo largo del curso. El modo de evaluar este trabajo será el siguiente: La mitad de los ejercicios que han de resolver en las pruebas presenciales que forman parte de la evaluación continua serán elegidos de entre los que se han propuesto anteriormente a los alumnos.
• Participación en los seminarios.

Examen final.

Examen de recuperación.

• En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.
• En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.
• En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.
• Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía, discusiones con los compañeros y acudiendo al profesor.

• Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los ejercicios (acudiendo para ello a la revisión).
• Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.