Esta asignatura pertenece al bloque formativo “Topología y Geometría Diferencial”.

Su carácter es obligatorio y su docencia está programada en el primer semestre del 2º curso. El bloque se complementa con la “Geometría Diferencial I” que se imparte en el segundo semestre del 2º curso. Sus contenidos son necesarios para abordar con garantías otras asignaturas del Plan de Estudios como Álgebra Conmutativa y Computacional, Análisis Funcional, Geometría Algebraica o Topología Algebraica.

Al ser una asignatura de carácter obligatorio, es fundamental para cualquier perfil profesional vinculado a la Titulación de Grado en Matemáticas.

La asignatura se organizará en las siguientes unidades.

1. Espacios topológicos.

Topología por abiertos y por cerrados. Comparación de topologías. Entornos de un punto. Subespacios topológicos. Bases y subbases.

2. Espacios métricos.

Distancia sobre un conjunto. Bolas y topología métrica. Espacios topológicos metrizables. Métricas equivalentes. Acotación.

3. Elementos de un espacio topológico.

Interior, cierre, frontera y puntos de acumulación. Sucesiones y límites.. Conjuntos densos y numerables. Axiomas de separación.

4. Continuidad. Topologías inicial y final.

Funciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Continuidad uniforme e isometrías en espacios métricos. Topología inicial y la topología final de una aplicación.

5. Producto de espacios topológicos.

Topología producto. Continuidad y productos.

6. Espacios conexos.

Espacios y subespacios conexos. Subconjuntos conexos de R. Producto de espacios topológicos conexos. Conexión y continuidad. Conexión local y componentes conexas.

7. Espacios compactos.

Espacios y subespacios compactos. Compactos y cerrados en espacios Hausdorff y métricos. Subconjuntos compactos de Rⁿ. Compacidad y continuidad. Compacidad por sucesiones.

8. Espacios métricos completos.  

Sucesiones de Cauchy, completitud. Subespacios topológicos completos. Completación de un espacio métrico.

9. Introducción al Grupo Fundamental.

Espacios arco-conexos. Grupo fundamental. Descripción de superficies compactas.

Conocer definiciones intrínsecas de los conceptos básicos de topología (abierto, cerrado, entorno), así como la caracterización de algunas topologías sencillas.

Entender la noción de espacio metrizable y conocer métricas distintas que determinan la misma topología.

Utilizar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico: compacidad y conexión.

Construir ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente.

Saber las propiedades básicas y ejemplos de conjuntos numerables.

Conocer una definición general de función continua entre dos espacios topológicos arbitrarios.

Ser capaces de caracterizar las topologías inicial y final de una aplicación.

Saber caracterizar los subconjuntos compactos de Rⁿ.

Conocer la definición de sucesión de Cauchy y su relación con las sucesiones convergentes.

Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación.

• Conseguir capacidad de análisis y síntesis.
• Estimular el aprendizaje autónomo.
• Aprender a trabajar en equipo.
• Abordar problemas relacionados con los conceptos asimilados.
• Obtener resultados hilando razonamientos a partir de nociones teóricas.
• Entender demostraciones rigurosas.
• Tener capacidad de organización y planificación

James R. Munkres. Topología (2ª Edición); Prentice Hall (Madrid), 2002.

• E. Bujalance y J. Tarrés. Problemas de Topología. Cuadernos de la UNED 062, 1991.
• G. Fleitas; J. Margalef. Problemas de Topología General (2ª Edición). Alambra (Madrid), 1983.
• R. López. Topología. Ed. Universidad de Granada, 2014.
• J. Margalef y  E. Outerelo. Introducción a la Topología. Complutense D. L. (Madrid), 1993.
• E. Outerelo Domínguez y J.M. Sánchez. Elementos de topología. Ed Sanz y Torres, 2008.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará principalmente en el trabajo continuado del estudiante, controlado periódicamente con diversos instrumentos de evaluación, conjuntamente con un examen final.

Los pesos en la calificación final de las distintas actividades de evaluación serán:

• Actividades presenciales de evaluación continua: 25%.
• Actividades no presenciales de evaluación continua: 15%.
• Examen final: 60% (mínimo de 3 sobre 10).

El estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.

Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:

• Actividades no presenciales de evaluación continua:

Durante el curso se planteará a los estudiantes diversos trabajos teórico-prácticos   consistentes en la demostración con rigor de resultados de teoría planteados por el profesor y/o en la resolución de uno o varios ejercicios donde se abordarán los distintos conceptos vistos en clase.

Estos trabajos deberán ser realizados por el estudiante fuera del horario lectivo.

• Actividades presenciales de evaluación continua:

Durante el cuatrimestre serán convocadas con suficiente antelación, tanto en clase como a través de la plataforma Studium, unas pruebas presenciales. Las pruebas  incluirán unas preguntas de carácter teórico (50%) y también unos problemas (50%)  similares a los trabajados anteriormente en clase. La duración estimada de este tipo de pruebas es de una hora.

Las distintas actividades de evaluación continua, presenciales y no presenciales, se secuenciarán de manera adecuada y se coordinarán con actividades similares de las otras asignaturas del cuatrimestre.

• Examen:

Se realizará en la fecha prevista en la planificación docente y tendrá una duración aproximada de cuatro horas. El examen consistirá en un apartado de cuestiones teóricas (40%) y la resolución de unos problemas (60%). Para aprobar la asignatura será necesario superar el 30% de este examen final

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías, especialmente aquellas referentes a la revisión de los trabajos.

Las actividades de la evaluación continua no presenciales deben ser entendidas en cierta medida como una autoevaluación del estudiante que le indica más su evolución en la adquisición de competencias y auto aprendizaje y, no tanto, como una nota importante en su calificación definitiva.

Se realizará un examen de recuperación en la fecha prevista en la planificación docente. Para la calificación de esta recuperación, las ponderaciones de las distintas actividades de evaluación continua, junto con el examen de recuperación, serán las siguientes: 

• Actividades presenciales de evaluación continua: 15%.
• Actividades no presenciales de evaluación continua: 15%.
• Examen de recuperación: 70%.

El examen de recuperación mantendrá el 40% de teoría y el 60% de problemas, al igual que en el examen final de la primera convocatoria.