Cálculo Diferencial e Integral y Funciones de Variable Compleja

Formación básica. Rama de Ciencias.

Al ser una materia de carácter básico, es fundamental  en cualquier perfil  profesional vinculado a la Titulación de Grado en Matemáticas.

Contenidos teóricos

Tema 1.        Primitivas de una función dada. Integral indefinida. Método del cambio de variable para el cálculo de primitivas. Integración por partes. Integración de funciones racionales. Integración de funciones trigonométricas. Otros tipos de integrales reducibles a integrales de funciones racionales.

Tema 2.        Particiones de un intervalo cerrado. Sumas de Riemann de una función acotada. Aumento de la proximidad entre las sumas de Riemann cuando se sustituye una partición por otra mas fina. Integrales superior e inferior. Integral de Riemann. Idea sobre la generalización a funciones de dos o más variables. Criterio de integrabilidad. Integrabilidad de las funciones continuas. Convergencia de las sumas de Darboux de una función continua al valor de su integral. Linealidad de la integral. Subdivisión del intervalo de integración. Teorema del valor medio. Paso al límite bajo el signo integral. Continuidad y derivabilidad de funciones definidas por una integral dependiente de un parámetro. La integral de Riemann de una función continua como función de su límite superior de integración. Regla de Barrow. Cambio de variable e integración por partes para la integral definida. Integrales impropias.

Tema 3.        Cálculo de áreas de figuras planas; cálculo en coordenadas polares. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Áreas laterales de sólidos de revolución. Cálculo de longitudes de curvas planas; cálculo en coordenadas polares. Idea sobre la posibilidad de generalizar la derivación y la integración para las funciones continuas en un intervalo cerrado con valores en Rⁿ, para su aplicación al cálculo de la longitud de una curva rectificable en Rⁿ.

Tema 4.        Series de números reales. Series de términos positivos. Comparación de series. Criterios clásicos de convergencia de series de términos positivos. Productos infinitos de números reales.  Sucesiones de funciones. Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Límite uniforme de una sucesión de funciones continuas. Límite uniforme de una sucesión de funciones integrables en un intervalo cerrado. Series de funciones. Campo de convergencia. Convergencia uniforme de una serie de funciones. Criterio de la serie numérica mayorante de Weierstrass. Series de potencias reales y complejas. Convergencia. Definición mediante series de potencias de algunas funciones elementales. Continuidad de las funciones definidas por una serie de potencias. Derivación de una serie de potencias. Series trigonométricas. Series de Fourier. Unicidad de los coeficientes. Sistemas ortogonales de funciones en un intervalo. Completitud del sistema trigonométrico. Convergencia de la serie de los cuadrados de los coeficientes de Fourier de una función continua. Desigualdad de Bessel. Convergencia de la serie de Fourier de una función de clase C¹ a trozos.

Contenidos prácticos

1.  Cálculo de primitivas: métodos de cálculo. Integrales inmediatas. Cambio de variable Integración por partes. Integrales de funciones racionales, trigonométricas e hiperbólicas. Integrales de funciones irracionales. Métodos de recurrencia.

2.  Integral de Riemann. Aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo integral al cálculo de límites y extremos relativos: relación con el cálculo diferencial. Aplicaciones geométricas del cálculo integral: áreas, volúmenes y longitudes. Aplicaciones físicas: masa, centro de gravedad.

3.  Integrales impropias. Criterios de convergencia: criterios de comparación directa y de comparación por paso al límite. Convergencia absoluta. Criterio de Dirichlet.

4. Series de números reales. Criterios de convergencia: criterios de comparación directa, del cociente, de la raíz, de Raabe, del logaritmo y de condensación. Convergencia absoluta. Criterio de Leibnitz. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme y puntual de una sucesión de funciones. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad del límite puntual. Criterios de convergencia de series de funciones: criterio de Dirichlet. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función suma. Series de potencias. Cálculo del radio de convergencia.

Académicas

·       Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

·       Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos del Cálculo Diferencial.

·       Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

·       Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.

·       Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

Disciplinares

·       Calcular integrales de funciones, distinguiendo el método más adecuado.

·       Aplicar el teorema Fundamental del Cálculo Integral al cálculo de límites.

·       Resolver problemas que impliquen el planteamiento de integrales (longitudes, áreas, volúmenes, centros de gravedad, etc.)

·       Conocer la posibilidad de conmutar el paso al límite uniforme con la integral

·       Saber determinar el carácter de una serie de números reales en casos sencillos.

·       Saber que una serie de funciones continuas uniformemente convergente en un intervalo cerrado puede integrarse término a término.

·       Calcular el radio de convergencia de una serie de potencias. Saber que este tipo de series pueden derivarse e integrarse término a término.

·       Conocer las series de potencias de las funciones elementales.

·       Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función en casos sencillos.

Profesionales

·       Capacidad para aplicar la teoría a la práctica.

·       Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matemáticas.

·       Capacitar para resolver problemas de ámbito académico, técnico, financiero o social mediante métodos matemáticos.

·       Saber trabajar en equipo, aportando modelos matemáticos adaptados a las necesidades colectivas.

.         Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Instrumentales:

·       Capacidad de organizar y planificar.

·       Identificación de problemas y planteamiento de estrategias de solución.

·       Habilidades para recuperar y analizar información desde diferentes fuentes.

Interpersonales:

·       Comunicación de conceptos abstractos.

·       Argumentación racional.

·       Capacidad de aprendizaje.

·       Inquietud por la calidad.

Sistémicas:

·       Creatividad.

·       Habilidad para trabajar en equipos multidisciplinares.

.        Planificar y dirigir.

•  J. Escuadra Burrieza, J. Rodríguez Lombardero y A. Tocino García, Análisis Matemático. Hespérides. 1998.
• F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en una variable real. Ed. Thomson, 2004.

• J. M. Ortega Aramburu, Análisis Matemático. Ed. Labor.
• J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C.A. Trejo, Análisis Matemático (tomo 1). Ed. Kapelusz.
• G. E. Shilov, Elementary Real and Complex Analysis. Dover.
• D. A. Sprecher, Elements of Real Analysis. Dover.
•  S. Lang, Introducción al Análisis Matemático. Addison Wesley.
• R. Courant y F. John, Introduction to Calculus and Analysis (volume I). Springer .
• Programa Mathematica (Wolfram Research)
• http://www.matematicas.net

Se evaluará el nivel adquirido en las competencias y destrezas expuestas, así como el logro de los objetivos propuestos. En todo momento se exigirá un mínimo en cada una de las actividades a evaluar y en cada bloque del temario, evitando así el desconocimiento absoluto de alguna parte de la materia y la no realización de las actividades.

La teoría contará 4 puntos sobre la calificación final, y los problemas 6 puntos.

Para la parte de problemas: se realizarán pruebas escritas (20% de la nota de problemas) y trabajos individuales o en grupo (10% de la nota de problemas). El examen final de problemas contará un 70%  de los 6 puntos que cuentan los problemas. Para sumar la nota de la evaluación continua a la del examen habrá que obtener en el examen al menos un 4 sobre 10.

 Para la parte de teoría los alumnos podrán alcanzar un 70% de la nota mediante exposiciones y el 30% restante en el examen.

Actividades a evaluar

·       Entrega de trabajos individuales periódicamente

·       Entrega de trabajos en equipo

·       Exposiciones teóricas

·       Exposición de los trabajos prácticos

·       Exámenes escritos (final y/o de evaluación continua):

de teoría (conocimiento de conceptos, enunciados y razonamientos expuestos en las clases magistrales)

de problemas (resolución de enunciados análogos a los explicados en las clases prácticas y de cuestiones breves)

En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.

Una vez que el profesor entrega los trabajos corregidos, analizar los errores cometidos, tanto individualmente, como acudiendo a las tutorías.

Ensayo previo de la exposición de los trabajos en un equipo, para detectar las posibles deficiencias en el entendimiento de los conceptos, así como en la forma de expresión.

En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.

En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía y acudiendo al profesor.

Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).

Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.