•Calcular los anillos completados y los anillos graduados de anillos sencillos.

• Determinar los puntos en que un morfismo entre los completados es isomorfismo utilizando el teorema de la función inversa.

•Calcular el polinomio de Hilbert de anillos graduados sencillos (cocientes de anillos de polinomios por ideales homogéneos).

•Calcular el polinomio de Samuel de anillos locales.

•Calcular dimensiones de anillos sencillos utilizando el teorema de la dimensión y sus consecuencias.

•Calcular el módulo de diferenciales relativas de un morfismo finito.

•Calcular los ceros y polos de una función algebraica.

•Determinar si una extensión finita de los números enteros es íntegramente cerrada.

Junto con las demás materias de este módulo, los estudiantes adquirirán las competencias generales CB-1, CB-2, CB-3, CG-1, CE-1, CE-2, CE-3, CE-4, CE-5 y CE-6 del Título.

TEMA 1: Filtraciones y  Completaciones.

Topologías ádicas en anillos noetherianos. Definición de filtración y filtración estable de un módulo. Topología sobre un módulo asociada a una filtración. Completaciones ádicas: definiciones topológica y algebraica. Lema de Krull. Dilatado y graduado de un anillo por un ideal y de un módulo por una filtración. Lema de Artin-Rees. Exactitud de la completación. Platitud y fielplatitud de la completación. Noetherianidad de la completación. Teorema de la función inversa.

TEMA 2: Teoría de la dimensión.

Dimensión de Krull de un anillo: definición, caracterización de la dimensión como el supremo de las alturas de los ideales primos, teorema de Krull. Función de Hilbert y funciones de Samuel de un módulo: definiciones y demostración de que ambas son polinomios racionales. Polinomio de Samuel de un anillo local respecto de un ideal primario. Invariancia del grado con respecto al ideal primario. Variación del grado del polinomio de Samuel al hacer cociente por un elemento del anillo no divisor del cero. Sistema mínimo de parámetros de un anillo local noetheriano. Teorema de la dimensión.

TEMA 3: Anillos regulares y puntos no singulares.

Anillos locales regulares: definición de anillo local regular y caracterizaciones por el anillo graduado y por la multiplicidad. Caracterización de los anillos regulares noetherianos de dimensión 1 como dominios noetherianos localmente principales. Anillos regulares completos: teorema de Cohen.

TEMA 4: Morfismos finitos y enteros.

Dependencia entera: definiciones y propiedades básicas de los morfismos finitos y enteros. Cierre entero y anillos íntegramente cerrados. Métrica de la traza. Finitud del cierre entero de anillos íntegramente cerrado en extensiones separables. Teoremas de Normalización de Noether y de los ceros de Hilbert.

TEMA 5: Valoraciones y anillos de valoración.

Valoraciones y anillos de valoración: definiciones y propiedades. Anillos de valoración discreta. Valoraciones y cierre entero: morfismos dominantes, relación de orden en el conjunto de anillos locales noetherianos, maximalidad de los anillos de valoración. Construcción del cierre entero de un anillo íntegro en una extensión finita por los anillos de valoración. Anillos de Dedekind. Valoraciones que centran en un punto. Desingularización de una curva afín por el cierre entero.

•M. Atiyah, J. M. Macdonall, ``Introducción al álgebra Conmutativa", Ed. Reverte (1989).

• J. A. Navarro,  ``Álgebra Conmutativa Básica", Manuales de la UNEX, 19.

•M. Reid, `Undergraduate algebraic geometry”, London Mathematical Society Texts, 12. Cambridge Universitey Press, Cambrridge, 1988.

•D. Eisenbud, ``Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry". Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, (1995).

•E. Kunz,  ``Introduction to commutative algebra and algebraic geometry". Translated from the German by Michael Ackerman. With a preface by David Mumford. Birkh\"{a}user Boston, Inc., Boston, MA, (1985).

•J. Harris, ``Algebraic Geometry", A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995.

•Material proporcionado a través del Campus on-line de la Facultad de Ciencias.

Los criterios de evaluación serán las siguientes con el peso en la calificación definitiva que se indica a continuación:

Los instrumentos de evaluación se llevarán a cabo a través de diferentes actividades:

Actividades No Presenciales de evaluación continua:

• Se propondrá a cada estudiante un trabajo de carácter teórico a lo largo del cuatrimestre. Los trabajos serán entregados escritos en LateX o a mano. En la parte de corrección de cada trabajo, el profesor puede llamar a tutoría la estudiante, y la asistencia será obligatoria para que dicho trabajo sea finalmente calificado.
• En caso en el que este estime oportuno, se realizará una exposición oral de los trabajos presentados. Dicha exposición oral servirá para matizar la nota del trabajo y para valorar otros aspectos distintos al trabajo escrito, como por ejemplo la claridad en la explicación, el modo de dirigirse al público, etc.

Actividades Presenciales de evaluación continua:

• En el horario lectivo de la materia, se realizará varias pruebas a lo largo del cuatrimestre consistente en problemas, preguntas cortas  etc.. previamente discutidas en clase.

De todas las actividades se comunicará la nota al estudiante en el tablón del aula o por el campus virtual, facilitando una hora para la revisión (en caso de no ser llamados a tutorías).

(*) Examen:

Consistirá en una última prueba de la evaluación continua y la recuperación de las demás

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas y el uso de las tutorías, especialmente aquellas referentes a la revisión de los trabajos.

Las actividades de la evaluación continua no presenciales deben ser entendidas en cierta medida como una autoevaluación del estudiante que le indica más su evolución en la adquisición de competencias y auto aprendizaje y, no tanto, como una nota importante en su calificación definitiva.