CON21, CON23

HAB03, HAB06

CMP06, CMP07, CMP19

Tema 1. Topología, límites y continuidad en Rⁿ

Normas en un espacio vectorial. Distancia asociada a una norma. Espacios métricos. Conjuntos abiertos y cerrados. Interior, exterior, frontera y puntos de acumulación de un conjunto. Convergencia de sucesiones y completitud. Límite de una aplicación entre espacios normados. Propiedades. Límites según subconjuntos. Aplicaciones continuas. Propiedades. Aplicaciones lineales y multilineales continuas.

Tema 2. Cálculo diferencial en varias variables

Derivada de una función con un vector. Derivadas direccionales. Gradiente. Diferencial en un punto de una aplicación entre subconjuntos abiertos de espacios normados de dimensión finita. Expresión en coordenadas. Propiedades algebraicas de la diferencial. Regla de la cadena. Teorema del valor medio. Diferenciales de orden superior. Funciones de clase C^h. Teorema de Schwarz sobre la igualdad de derivadas cruzadas. Fórmula de Taylor. Aplicación al estudio de extremos locales.

Tema 3. El teorema de la función inversa y aplicaciones

Teorema de la función inversa. Teorema de las funciones implícitas. Criterio de dependencia funcional. Noción de subvariedad diferenciable de Rⁿ. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange.

Tema 4. Integral de Riemann para funciones de varias variables

La integral de Riemann en rectángulos del plano. Propiedades. Criterios de integrabilidad.  Teorema de Fubini. Integración en conjuntos medibles-Jordan. Teorema de cambio de variables. Integrales impropias. Generalización a dimensión superior. Aplicaciones del cálculo integral.

Tema 5. Integrales de línea

Curvas parametrizadas en el plano y en el espacio. Longitud de un arco de curva. Campos escalares y vectoriales. Integral de línea de un campo escalar respecto de la longitud de arco. Integral de línea de un campo vectorial. Campos conservativos y función potencial. Relación con el rotacional. Teorema de Green en el plano.

Teoría:

• J. de Burgos, Cálculo Infinitesimal de Varias Variables. McGraw-Hill, 2008.
• J. A. Fernández Viña, Análisis Matemático II: Topología y Cálculo Diferencial. Ed. Tecnos, 1992.
• D. G. Zill, W. S. Wright, Cálculo de varias variables. Ed Mc Graw Hill.
• Gamboa, J.M., Ruiz, J.M., Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Ed. Sanz y Torres, 1999.
• G. O. Jameson, A first Course on Complex Functions. Chapman and Hall. 197.

Problemas:

• F. Galindo, J. Sanz, L. A. Tristán, Guía Práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables. Ed. Thomson.
• J. A. Fernández Viña, E. Sánchez Mañes, Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Ed. Tecnos.

La evaluación de la asignatura consta de dos partes: 

Evaluación continua (pruebas por escrito, resolución de problemas propuestos a lo largo del curso, participación en clase, etc.)  supondrán el 30% de la nota final.

Examen final: será un 70% de la nota total de la asignatura. 

Para aprobar será necesario obtener una nota mínima de 3,5 puntos sobre 10 en el examen final y 5 puntos en la media ponderada con la evaluación continua. 

La evaluación se realizará mediante pruebas a lo largo del curso, participación en clase y un examen final. En caso de que en la primera convocatoria un alumno no apruebe la asignatura, la segunda se regirá por los mismos criterios del punto anterior.

Se recomienda que los alumnos asistan a clase y participen en todas las actividades propuestas. Deben resolver los problemas propuestos antes de corregirlos en los seminarios, analizar los errores y resolver las dificultades que se les planteen asistiendo si es necesario a tutorías.

El estudio de la asignatura a lo largo de todo el curso, asimilando progresivamente los contenidos mediante el trabajo constante es la mejor garantía de éxito.