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Curso 2026/2027

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ANÁLISIS FUNCIONAL I

GRADO EN MATEMÁTICAS

1. Datos de la asignatura

(Fecha última modificación: 11-06-26 13:06)
Código
142225
Plan
2026
ECTS
6.00
Carácter
OPTATIVA
Curso
3
Periodicidad
Primer Semestre
Idioma
ESPAÑOL
Área
Departamento
Matemáticas
Plataforma Virtual

Campus Virtual de la Universidad de Salamanca

Datos del profesorado

Coordinador/a
Ángel Andrés Tocino García
Grupo/s
2
Centro
Fac. Ciencias
Departamento
Matemáticas
Área
Análisis Matemático
Despacho
M3318 (Edificio de la Merced)
Horario de tutorías
Previa petición
URL Web
https://produccioncientifica.usal.es/investigadores/56138/detalle
E-mail
bacon@usal.es
Teléfono
923294460 Ext.1538

2. Recomendaciones previas

Se precisan conocimientos generales de Análisis Matemático I (obligatoria de primer curso), Análisis Matemático III y Topología (obligatorias de 2º curso). En particular, se hará uso de resultados relativos a sucesiones y series de números reales, normas en Rn y espacios métricos.

3. Objetivos

  • Conocer y manejar los conceptos relativos a la teoría de la medida.
  • Introducir los espacios normados como generalización de Rn
  • Establecer el teorema de Hahn-Banach y sus principales consecuencias.
  • Introducir los espacios de Hilbert como generalización del espacio euclídeo Rn.
  • Introducir el concepto de base ortonormal y su caracterización.
  • Clasificar los espacios de Hilbert por su dimensión.
  • Introducir el concepto de espectro de un operador compacto y proponer ejemplos ilustrativos.
  • Conocer el teorema espectral para operadores compactos y autoadjuntos.

4. Competencias a adquirir | Resultados de Aprendizaje

Básicas / Generales | Conocimientos.

Conocimientos:

CON08: Explicar y aplicar los fundamentos de la teoría de la medida, el análisis funcional y el análisis armónico en distintos contextos matemáticos.

Específicas | Habilidades.

Habilidades:

HAB01: Evaluar e interpretar resultados matemáticos, formular conclusiones fundamentadas, resolver problemas y diseñar modelos matemáticos validados con herramientas adecuadas.

Transversales | Competencias.

Competencias:

CMP01: Formular proposiciones matemáticas, construir y verificar demostraciones rigurosas, y refutar enunciados mediante contraejemplos utilizando el lenguaje matemático de manera precisa.

CMP02: Analizar y definir nuevos objetos matemáticos a partir de estructuras previas, identificando y abstrayendo sus propiedades esenciales.

CMP03: Comunicar con precisión información matemática, ideas, problemas y soluciones, adaptando el discurso a públicos especializados y no especializados, tanto de forma oral como escrita.

5. Contenidos

Teoría.

TEMA 1. Introducción a la teoría de la medida.

TEMA 2. Espacios normados. Teorema de Hahn-Banach. 

TEMA 3. Espacios de Hilbert. Series de Fourier. 

TEMA 4. Teoría de operadores en espacios de Hilbert

6. Metodologías Docentes

 ● Clases magistrales

Se desarrollarán los contenidos teóricos, en los que se incluyen las definiciones de los diferentes conceptos y su comprensión a partir de ejemplos, así como las propiedades formuladas. Se enunciarán y demostrarán los resultados fundamentales en forma de proposiciones, teoremas y corolarios. Se fijan así los conocimientos ligados a las competencias previstas y se da paso a clases prácticas de resolución de problemas.

   ● Resolución de problemas:

Mediante clases prácticas se irán resolviendo los ejercicios y problemas planteados para aplicar y asimilar los contenidos.

   ● Seminarios tutelados.

Para cada seminario se propondrán una serie de problemas que los estudiantes deben resolver previamente y pueden exponer en clase.

   ● Trabajo personal

Además, los estudiantes tendrán que desarrollar por su parte un trabajo personal de estudio y asimilación de la teoría, resolución de problemas propuestos y preparación de los trabajos propuestos, para alcanzar las competencias previstas.

  ● Realización de exámenes

 Exámenes de teoría y resolución de problemas.

7. Distribución de las Metodologías Docentes

Previsión de distribución de las metodologías docentes (Fecha: 08-06-26)

8. Recursos

Libros de consulta para el alumno.

  • Bachman, G.; Narici, L. Functional Analysis. Dover, 2000

    • Brezis, H. Análisis Funcional Alianza Universidad, 1983.

    • Cascales, B.; Mira, J.M. Análisis Funcional. Universidad de  Murcia, 2002.

    • El Kacimi, A. Introducción al Análisis Funcional. Reverté, 1994.

    • Friedman, A. Foundations of Modern Analysis, Dover, 1970.

    • Friedrichs, K.O. Spectral Theory of Operator in Hilbert Space. Springer, 1973.

    • Halmos, P.R. A Hilbert space problem book, Van Nostrand, 1967.

    • Riesz, F.; Nagy, B. Functional Analysis, Dover, 1990

    • Taylor, A.; Lay, D. Introduction to Functional Analysis. R.E. Krieger Publishing Co., 1986.

    • Tocino, A., Maldonado, M. Problemas resueltos de Análisis Funcional. Cervantes, Salamanca, 2003.

    • Young, N. An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, 1988.

9. Evaluación

Criterios de evaluación.

  • Examen final: 70% de la nota final; teoría (40%) y problemas (60%) 

     •Prueba parcial: 20% de la nota final. Sólo problemas.

    • Exposiciones en los seminarios: 10% de la nota final.

    Será necesario tener 3.5 puntos sobre 10 en cada parte del examen final para que se tenga en cuenta la evaluación continua.

    Las dos convocatorias tendrán las mismas condiciones.

untuación mínima de 3.5 sobre 10 en cada una de las partes del examen escrito (teoría y problemas).

Sistemas de evaluación.

• Presentación y exposición de trabajos.

• Presentación y exposición de prácticas de ordenador.

 

Recomendaciones para la evaluación.

En todo momento la asistencia a las clases y seminarios es altamente recomendable.

Recomendaciones para la evaluación 

• En la preparación de la parte teórica es importante comprender (los conceptos, razonamientos, etc.) y evitar la memorización automática.

• En cuanto a la preparación de problemas, es necesario ejercitarse con los problemas que aparecen en el libro de texto recomendado, no sólo con los problemas resueltos, sino intentando la resolución de los problemas propuestos.

•Resolver las dudas mediante el manejo de bibliografía, discusiones con los compañeros y acudiendo al profesor

Recomendaciones para la recuperación 

• Analizar los errores cometidos en los exámenes y en los trabajos (acudiendo para ello a la revisión).

• Trabajar en su preparación con las mismas recomendaciones realizadas para la evaluación.