Conocimientos:

Interpretar y utilizar los conceptos de curvas, superficies y variedades diferenciables en la modelización de fenómenos físicos.

• Habilidades:

  Evaluar e interpretar resultados matemáticos, formular conclusiones fundamentadas, resolver problemas y diseñar modelos matemáticos validados con herramientas adecuadas.

  
   

Competencias:

• Analizar y definir nuevos objetos matemáticos a partir de estructuras previas, identificando y abstrayendo sus propiedades esenciales.
• Comunicar con precisión información matemática, ideas, problemas y soluciones, adaptando el discurso a públicos especializados y no especializados, tanto de forma oral como escrita.
• Modelar matemáticamente fenómenos físicos e interpretar las implicaciones físicas derivadas de los modelos matemáticos.

Tema 1. Variedades diferenciables: Atlas, estructura diferenciable. Funciones diferenciables. Aplicaciones diferenciables, difeomorfismos.

Tema 2. Espacio tangente: Espacio tangente en un punto. Vector tangente a una curva. Espacio cotangente. La diferencial en un punto de una aplicación diferenciable.

Tema 3. Subvariedades y sumersiones: Inmersiones, subvariedades y embebimientos. Subvariedades definidas por ceros de funciones. Sumersiones.

Tema 4. Campos vectoriales: Campos de vectores diferenciables. El corchete de Lie. Curva integral de un campo. Flujo de un campo.

Tema 5. Cálculo diferencial en variedades: Campos de 1-formas. Campos de tensores diferenciables. El producto interior. La derivada de Lie de un tensor. La diferencial exterior. Conexión lineal. Transporte paralelo. Geodésicas. Torsión y curvatura de una conexión.

• J. M. Gamboa y J. M. Ruiz, Iniciación al estudio de las variedades diferenciables, Ed. Sanz y Torres, 2006.
• J. M. Lee, Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer Verlag, 2013.

• M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhäuser, 1983.
• C. M. Currás, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Publicaciones de la Universitat de Barcelona, 2003.
• P. M. Gadea y J. Muñoz-Masqué, Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers, Kluwer Academic Publishers, 2001.
• N. J. Hicks, Notas sobre geometría diferencial, editorial Hispano Europea, 1974.
• J. M. Lee, Riemannian manifolds; an introduction to curvature, Springer, 1997.
• P. Lucas, Variedades diferenciables y topología, ed. Diego Marín, 1999.
• J. Sáenz e Y. Nogier, Variedades Diferenciables , ed. Hipotenusa, 2017.
• F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, 1983.

La evaluación de la adquisición de las competencias de la materia se basará en el trabajo continuado del estudiante, en las pruebas de evaluación continua (controles), y en un examen final.

Primera convocatoria. Los pesos de las distintas actividades de evaluación en la calificación final de la primera convocatoria serán:

• Controles: 40%.

• Examen final: 60%.

Además, se requerirá una nota mínima de 3,5 puntos (sobre 10) en el examen final. En caso de no superar este mínimo, la calificación final que figurará en actas será la nota del examen final.

El estudiante que no se presente al examen final se considerará “no presentado”.

Segunda convocatoria. Aquellos estudiantes que mediante este sistema de evaluación no superen la asignatura tendrán la posibilidad de ser reevaluados. Se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria.

Para la calificación de esta segunda convocatoria, los pesos de las distintas actividades de evaluación serán:

• Controles: 20%.

• Examen de recuperación: 80%.

El estudiante que no se presente al examen de recuperación se considerará “no presentado”.

Controles: durante el cuatrimestre se realizarán dos pruebas escritas en la que se pedirá la resolución de algún ejercicio, así como alguna pregunta de carácter teórico. La media aritmética de estas pruebas de evaluación continua constituirá el 40% de la calificación final de la asignatura en la primera convocatoria y el 20% en la segunda.

Examen final: al final del cuatrimestre se realizará un examen global de la asignatura donde se valorará la adquisición de las competencias de carácter teórico y práctico. Esta prueba constará de una parte teórica y otra de problemas cuyos pesos respectivos en el examen serán del 40% y 60%.

Examen de recuperación: para la segunda convocatoria se realizará un examen de recuperación de características similares al examen final de la convocatoria ordinaria (teoría 40% y problemas 60%).

Para la adquisición de las competencias previstas en esta materia se recomienda la asistencia y participación activa en todas las actividades programadas.

En cierto sentido, las actividades de evaluación continua deben ser entendidas también como una auto-evaluación de cada estudiante permitiéndole analizar su propia evolución en el aprendizaje y la adquisición de competencias.